Theorem divalglem1 15117

Description: Lemma for divalg 15126. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	|- N e. ZZ
divalglem0.2	|- D e. ZZ
divalglem1.3	|- D =/= 0

Assertion

Ref	Expression
divalglem1	|- 0 <_ ( N + ( abs ` ( N x. D ) ) )

Proof of Theorem divalglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.1	. . . . 5 |- N e. ZZ
2	1	zrei 11383	. . . 4 |- N e. RR
3		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
4	2, 3	letrii 10162	. . 3 |- ( N <_ 0 \/ 0 <_ N )
5		divalglem0.2	. . . . . . . 8 |- D e. ZZ
6		divalglem1.3	. . . . . . . 8 |- D =/= 0
7		nnabscl 14065	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( abs ` D ) e. NN )
8	5, 6, 7	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( abs ` D ) e. NN
9		nnge1 11046	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` D ) e. NN -> 1 <_ ( abs ` D ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 1 <_ ( abs ` D )
11		le0neg1 10536	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( N <_ 0 <-> 0 <_ -u N ) )
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( N <_ 0 <-> 0 <_ -u N )
13	2	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u N e. RR
14	5	zrei 11383	. . . . . . . . . 10 |- D e. RR
15	14	recni 10052	. . . . . . . . 9 |- D e. CC
16	15	abscli 14134	. . . . . . . 8 |- ( abs ` D ) e. RR
17		lemulge11 10885	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u N e. RR /\ ( abs ` D ) e. RR ) /\ ( 0 <_ -u N /\ 1 <_ ( abs ` D ) ) ) -> -u N <_ ( -u N x. ( abs ` D ) ) )
18	13, 16, 17	mpanl12 718	. . . . . . 7 |- ( ( 0 <_ -u N /\ 1 <_ ( abs ` D ) ) -> -u N <_ ( -u N x. ( abs ` D ) ) )
19	12, 18	sylanb 489	. . . . . 6 |- ( ( N <_ 0 /\ 1 <_ ( abs ` D ) ) -> -u N <_ ( -u N x. ( abs ` D ) ) )
20	10, 19	mpan2 707	. . . . 5 |- ( N <_ 0 -> -u N <_ ( -u N x. ( abs ` D ) ) )
21	2	recni 10052	. . . . . . 7 |- N e. CC
22	21, 15	absmuli 14143	. . . . . 6 |- ( abs ` ( N x. D ) ) = ( ( abs ` N ) x. ( abs ` D ) )
23	2	absnidi 14118	. . . . . . 7 |- ( N <_ 0 -> ( abs ` N ) = -u N )
24	23	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N <_ 0 -> ( ( abs ` N ) x. ( abs ` D ) ) = ( -u N x. ( abs ` D ) ) )
25	22, 24	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( N <_ 0 -> ( abs ` ( N x. D ) ) = ( -u N x. ( abs ` D ) ) )
26	20, 25	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( N <_ 0 -> -u N <_ ( abs ` ( N x. D ) ) )
27		le0neg2 10537	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( 0 <_ N <-> -u N <_ 0 ) )
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 <_ N <-> -u N <_ 0 )
29	2, 14	remulcli 10054	. . . . . . . 8 |- ( N x. D ) e. RR
30	29	recni 10052	. . . . . . 7 |- ( N x. D ) e. CC
31	30	absge0i 14135	. . . . . 6 |- 0 <_ ( abs ` ( N x. D ) )
32	30	abscli 14134	. . . . . . 7 |- ( abs ` ( N x. D ) ) e. RR
33	13, 3, 32	letri 10166	. . . . . 6 |- ( ( -u N <_ 0 /\ 0 <_ ( abs ` ( N x. D ) ) ) -> -u N <_ ( abs ` ( N x. D ) ) )
34	31, 33	mpan2 707	. . . . 5 |- ( -u N <_ 0 -> -u N <_ ( abs ` ( N x. D ) ) )
35	28, 34	sylbi 207	. . . 4 |- ( 0 <_ N -> -u N <_ ( abs ` ( N x. D ) ) )
36	26, 35	jaoi 394	. . 3 |- ( ( N <_ 0 \/ 0 <_ N ) -> -u N <_ ( abs ` ( N x. D ) ) )
37	4, 36	ax-mp 5	. 2 |- -u N <_ ( abs ` ( N x. D ) )
38		df-neg 10269	. . . 4 |- -u N = ( 0 - N )
39	38	breq1i 4660	. . 3 |- ( -u N <_ ( abs ` ( N x. D ) ) <-> ( 0 - N ) <_ ( abs ` ( N x. D ) ) )
40	3, 2, 32	lesubadd2i 10588	. . 3 |- ( ( 0 - N ) <_ ( abs ` ( N x. D ) ) <-> 0 <_ ( N + ( abs ` ( N x. D ) ) ) )
41	39, 40	bitri 264	. 2 |- ( -u N <_ ( abs ` ( N x. D ) ) <-> 0 <_ ( N + ( abs ` ( N x. D ) ) ) )
42	37, 41	mpbi 220	1 |- 0 <_ ( N + ( abs ` ( N x. D ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   ZZcz 11377   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  divalglem2  15118