Theorem divalglem6 15121

Description: Lemma for divalg 15126. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem6.1	|- A e. NN
divalglem6.2	|- X e. ( 0 ... ( A - 1 ) )
divalglem6.3	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
divalglem6	|- ( K =/= 0 -> -. ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) )

Proof of Theorem divalglem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem6.3	. . . 4 |- K e. ZZ
2	1	zrei 11383	. . 3 |- K e. RR
3		0re 10040	. . 3 |- 0 e. RR
4	2, 3	lttri2i 10151	. 2 |- ( K =/= 0 <-> ( K < 0 \/ 0 < K ) )
5		divalglem6.2	. . . . . . . . 9 |- X e. ( 0 ... ( A - 1 ) )
6		0z 11388	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
7		divalglem6.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. NN
8	7	nnzi 11401	. . . . . . . . . 10 |- A e. ZZ
9		elfzm11 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( X e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) <-> ( X e. ZZ /\ 0 <_ X /\ X < A ) ) )
10	6, 8, 9	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) <-> ( X e. ZZ /\ 0 <_ X /\ X < A ) )
11	5, 10	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( X e. ZZ /\ 0 <_ X /\ X < A )
12	11	simp3i 1072	. . . . . . 7 |- X < A
13	11	simp1i 1070	. . . . . . . . 9 |- X e. ZZ
14	13	zrei 11383	. . . . . . . 8 |- X e. RR
15	7	nnrei 11029	. . . . . . . 8 |- A e. RR
16	2, 15	remulcli 10054	. . . . . . . 8 |- ( K x. A ) e. RR
17	14, 15, 16	ltadd1i 10582	. . . . . . 7 |- ( X < A <-> ( X + ( K x. A ) ) < ( A + ( K x. A ) ) )
18	12, 17	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( X + ( K x. A ) ) < ( A + ( K x. A ) )
19	2	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u K e. RR
20	7	nnnn0i 11300	. . . . . . . . . 10 |- A e. NN0
21	20	nn0ge0i 11320	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ A
22		lemulge12 10886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ -u K e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ -u K ) ) -> A <_ ( -u K x. A ) )
23	22	an4s 869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( -u K e. RR /\ 1 <_ -u K ) ) -> A <_ ( -u K x. A ) )
24	15, 21, 23	mpanl12 718	. . . . . . . 8 |- ( ( -u K e. RR /\ 1 <_ -u K ) -> A <_ ( -u K x. A ) )
25	19, 24	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( 1 <_ -u K -> A <_ ( -u K x. A ) )
26		lt0neg1 10534	. . . . . . . . 9 |- ( K e. RR -> ( K < 0 <-> 0 < -u K ) )
27	2, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( K < 0 <-> 0 < -u K )
28		znegcl 11412	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> -u K e. ZZ )
29	1, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- -u K e. ZZ
30		zltp1le 11427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u K e. ZZ ) -> ( 0 < -u K <-> ( 0 + 1 ) <_ -u K ) )
31	6, 29, 30	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( 0 < -u K <-> ( 0 + 1 ) <_ -u K )
32		0p1e1 11132	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
33	32	breq1i 4660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) <_ -u K <-> 1 <_ -u K )
34	31, 33	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( 0 < -u K <-> 1 <_ -u K )
35	27, 34	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( K < 0 <-> 1 <_ -u K )
36	2	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- K e. CC
37	15	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. CC
38	36, 37	mulneg1i 10476	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u K x. A ) = -u ( K x. A )
39	38	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( A - ( -u K x. A ) ) = ( A - -u ( K x. A ) )
40	16	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 |- ( K x. A ) e. CC
41	37, 40	subnegi 10360	. . . . . . . . . 10 |- ( A - -u ( K x. A ) ) = ( A + ( K x. A ) )
42	39, 41	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( A - ( -u K x. A ) ) = ( A + ( K x. A ) )
43	42	breq1i 4660	. . . . . . . 8 |- ( ( A - ( -u K x. A ) ) <_ 0 <-> ( A + ( K x. A ) ) <_ 0 )
44	19, 15	remulcli 10054	. . . . . . . . 9 |- ( -u K x. A ) e. RR
45		suble0 10542	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( -u K x. A ) e. RR ) -> ( ( A - ( -u K x. A ) ) <_ 0 <-> A <_ ( -u K x. A ) ) )
46	15, 44, 45	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( A - ( -u K x. A ) ) <_ 0 <-> A <_ ( -u K x. A ) )
47	43, 46	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( ( A + ( K x. A ) ) <_ 0 <-> A <_ ( -u K x. A ) )
48	25, 35, 47	3imtr4i 281	. . . . . 6 |- ( K < 0 -> ( A + ( K x. A ) ) <_ 0 )
49	14, 16	readdcli 10053	. . . . . . 7 |- ( X + ( K x. A ) ) e. RR
50	15, 16	readdcli 10053	. . . . . . 7 |- ( A + ( K x. A ) ) e. RR
51	49, 50, 3	ltletri 10165	. . . . . 6 |- ( ( ( X + ( K x. A ) ) < ( A + ( K x. A ) ) /\ ( A + ( K x. A ) ) <_ 0 ) -> ( X + ( K x. A ) ) < 0 )
52	18, 48, 51	sylancr 695	. . . . 5 |- ( K < 0 -> ( X + ( K x. A ) ) < 0 )
53	49, 3	ltnlei 10158	. . . . 5 |- ( ( X + ( K x. A ) ) < 0 <-> -. 0 <_ ( X + ( K x. A ) ) )
54	52, 53	sylib 208	. . . 4 |- ( K < 0 -> -. 0 <_ ( X + ( K x. A ) ) )
55		elfzle1 12344	. . . 4 |- ( ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) -> 0 <_ ( X + ( K x. A ) ) )
56	54, 55	nsyl 135	. . 3 |- ( K < 0 -> -. ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) )
57		zltp1le 11427	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( 0 < K <-> ( 0 + 1 ) <_ K ) )
58	6, 1, 57	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( 0 < K <-> ( 0 + 1 ) <_ K )
59	32	breq1i 4660	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) <_ K <-> 1 <_ K )
60	58, 59	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( 0 < K <-> 1 <_ K )
61		lemulge12 10886	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ K e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 1 <_ K ) ) -> A <_ ( K x. A ) )
62	15, 2, 61	mpanl12 718	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 <_ A /\ 1 <_ K ) -> A <_ ( K x. A ) )
63	21, 62	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( 1 <_ K -> A <_ ( K x. A ) )
64	60, 63	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( 0 < K -> A <_ ( K x. A ) )
65	11	simp2i 1071	. . . . . . 7 |- 0 <_ X
66		addge02 10539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K x. A ) e. RR /\ X e. RR ) -> ( 0 <_ X <-> ( K x. A ) <_ ( X + ( K x. A ) ) ) )
67	16, 14, 66	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( 0 <_ X <-> ( K x. A ) <_ ( X + ( K x. A ) ) )
68	65, 67	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( K x. A ) <_ ( X + ( K x. A ) )
69	15, 16, 49	letri 10166	. . . . . 6 |- ( ( A <_ ( K x. A ) /\ ( K x. A ) <_ ( X + ( K x. A ) ) ) -> A <_ ( X + ( K x. A ) ) )
70	64, 68, 69	sylancl 694	. . . . 5 |- ( 0 < K -> A <_ ( X + ( K x. A ) ) )
71	15, 49	lenlti 10157	. . . . 5 |- ( A <_ ( X + ( K x. A ) ) <-> -. ( X + ( K x. A ) ) < A )
72	70, 71	sylib 208	. . . 4 |- ( 0 < K -> -. ( X + ( K x. A ) ) < A )
73		elfzm11 12411	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) <-> ( ( X + ( K x. A ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( X + ( K x. A ) ) /\ ( X + ( K x. A ) ) < A ) ) )
74	6, 8, 73	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) <-> ( ( X + ( K x. A ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( X + ( K x. A ) ) /\ ( X + ( K x. A ) ) < A ) )
75	74	simp3bi 1078	. . . 4 |- ( ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) -> ( X + ( K x. A ) ) < A )
76	72, 75	nsyl 135	. . 3 |- ( 0 < K -> -. ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) )
77	56, 76	jaoi 394	. 2 |- ( ( K < 0 \/ 0 < K ) -> -. ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) )
78	4, 77	sylbi 207	1 |- ( K =/= 0 -> -. ( X + ( K x. A ) ) e. ( 0 ... ( A - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   ZZcz 11377   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  divalglem7  15122