Theorem divcnvg 39859

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor A, converges to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
divcnvg	|- ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( A / n ) ) ~~> 0 )

Distinct variable groups:   A, n   n, M

Proof of Theorem divcnvg

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluznn 11758	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. NN )
2		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( m e. NN |-> ( A / m ) ) = ( m e. NN |-> ( A / m ) ) )
3		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( A / m ) = ( A / n ) )
4	3	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ m = n ) -> ( A / m ) = ( A / n ) )
5		id 22	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. NN )
6		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A / n ) e. _V )
7	2, 4, 5, 6	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) = ( A / n ) )
8	7	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( A / n ) = ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) )
9	1, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A / n ) = ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) )
10	9	adantll 750	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ M e. NN ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A / n ) = ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) )
11	10	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( A / n ) ) = ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) ) )
12		divcnv 14585	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ~~> 0 )
13	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ~~> 0 )
14		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> M e. NN )
15	14	nnzd 11481	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> M e. ZZ )
16		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
17	16	mptex 6486	. . . 4 |- ( m e. NN |-> ( A / m ) ) e. _V
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) ) = ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) )
20	18, 19	climmpt 14302	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ ( m e. NN |-> ( A / m ) ) e. _V ) -> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ~~> 0 <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) ) ~~> 0 ) )
21	15, 17, 20	sylancl 694	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ~~> 0 <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) ) ~~> 0 ) )
22	13, 21	mpbid 222	. 2 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( m e. NN |-> ( A / m ) ) ` n ) ) ~~> 0 )
23	11, 22	eqbrtrd 4675	1 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> ( n e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( A / n ) ) ~~> 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149