ovolicc2lem4 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ovolicc2lem4		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem ovolicc2lem4 23288

Description: Lemma for ovolicc2 23290. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.) (Revised by AV, 17-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ovolicc.1
ovolicc.2
ovolicc.3
ovolicc2.4
ovolicc2.5
ovolicc2.6
ovolicc2.7
ovolicc2.8
ovolicc2.9	$/\$
ovolicc2.10
ovolicc2.11
ovolicc2.12	$/\$
ovolicc2.13
ovolicc2.14
ovolicc2.15
ovolicc2.16
ovolicc2.17	inf

**Assertion**
Ref	Expression
ovolicc2lem4

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem ovolicc2lem4 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arch 11289	. . . . 5
2	1	ad2antlr 763	. . . 4 $/\$ $/\$
3		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . 16
4		ovolicc2.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6		ovolicc2.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8		ovolicc2.14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9		ovolicc2.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10	5, 6, 7, 8, 9	algrf 15286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11		ovolicc2.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13	11, 12	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
15	10, 13, 14	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
17	4, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19	18	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
21	17, 19, 20	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	3, 23	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . 15
25		nnssre 11024	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	24, 25	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14
27	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
29	27, 28	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
30		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
31		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
33		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
34	29, 30, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	ancomsd 470	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	35	expdimp 453	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	36	an32s 846	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	ralimdva 2962	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
39	38	impancom 456	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	an32s 846	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
41	40	reximdva 3017	. . . 4 $/\$ $/\$
42	2, 41	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$
43		fzfid 12772	. . . . 5
44		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
46		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
47	10, 18, 46	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
48	45, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	48	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
50		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14
51	50	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
52		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
54		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
55	10, 53, 54	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
56	51, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
57	49, 56	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
60	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62	61	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
63	62	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
64		ovolicc2.16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
66	64, 65	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
67	66, 25	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68		ovolicc2.17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inf
69	66, 5	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
70		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
71	5	uzinf 12764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
73		ovolicc2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
74		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
75	73, 74	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
76	75	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
77		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
78	76, 13, 77	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
80	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
84		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
85		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
86		ral0 4076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
87		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$
88	87	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$ $/\$
89	86, 88	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$
91		rabid2 3118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
92	90, 91	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
93	85, 92	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
94		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
95	94, 92	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$
96		ovolicc.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
97		ovolicc.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
98		ovolicc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
99		ovolicc2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
100		ovolicc2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
101		ovolicc2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
102		ovolicc2.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
103		ovolicc2.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
104		ovolicc2.13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
105	96, 97, 98, 99, 100, 73, 101, 4, 102, 11, 9, 103, 104, 8, 6, 64	ovolicc2lem3 23287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
106	84, 93, 95, 105	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
107	83, 106	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
108	107	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
109		dff13 6512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
110	80, 108, 109	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
111		f1domg 7975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
112	79, 110, 111	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
113		domfi 8181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
114	79, 112, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
115	114	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
116	115	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
117	72, 116	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
118		infssuzcl 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ inf
119	69, 117, 118	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 inf
120	68, 119	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121	67, 120	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122	121	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
123	67	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126	125	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
127		infssuzle 11771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ inf
128	69, 127	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 inf
129	68, 128	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
131	63, 122, 124, 126, 130	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
132	131	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
133	60, 132	ssrabdv 3681	. . . . . . . . . . . . . . . 16
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
135		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
136	134, 135	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
137		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	134, 137	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
139	136, 138	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
140	139, 105	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
141	59, 140	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
142	57, 141	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
143	142	ralrimivva 2971	. . . . . . . . 9
144		dff13 6512	. . . . . . . . 9 $/\$
145	21, 143, 144	sylanbrc 698	. . . . . . . 8
146		f1f1orn 6148	. . . . . . . 8
147	145, 146	syl 17	. . . . . . 7
148		f1oeq3 6129	. . . . . . . 8
149	3, 148	ax-mp 5	. . . . . . 7
150	147, 149	sylibr 224	. . . . . 6
151		f1ofo 6144	. . . . . 6
152	150, 151	syl 17	. . . . 5
153		fofi 8252	. . . . 5 $/\$
154	43, 152, 153	syl2anc 693	. . . 4
155		fimaxre2 10969	. . . 4 $/\$
156	26, 154, 155	syl2anc 693	. . 3
157	42, 156	r19.29a 3078	. 2
158	97, 96	resubcld 10458	. . . . 5
159	158	rexrd 10089	. . . 4
160	159	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$
161		fzfid 12772	. . . . . 6
162		elfznn 12370	. . . . . . . . 9
163		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
164	163	ovolfsf 23240	. . . . . . . . . . 11
165	100, 164	syl 17	. . . . . . . . . 10
166	165	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 $/\$
167	162, 166	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$
168		elrege0 12278	. . . . . . . 8 $/\$
169	167, 168	sylib 208	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
170	169	simpld 475	. . . . . 6 $/\$
171	161, 170	fsumrecl 14465	. . . . 5
172	171	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$
173	172	rexrd 10089	. . 3 $/\$ $/\$
174	163, 99	ovolsf 23241	. . . . . . . . 9
175	100, 174	syl 17	. . . . . . . 8
176		frn 6053	. . . . . . . 8
177	175, 176	syl 17	. . . . . . 7
178		rge0ssre 12280	. . . . . . 7
179	177, 178	syl6ss 3615	. . . . . 6
180		ressxr 10083	. . . . . 6
181	179, 180	syl6ss 3615	. . . . 5
182		supxrcl 12145	. . . . 5
183	181, 182	syl 17	. . . 4
184	183	adantr 481	. . 3 $/\$ $/\$
185	158	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$
186	24	sselda 3603	. . . . . . 7 $/\$
187	178, 166	sseldi 3601	. . . . . . 7 $/\$
188	186, 187	syldan 487	. . . . . 6 $/\$
189	154, 188	fsumrecl 14465	. . . . 5
190	189	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$
191		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11
192		fss 6056	. . . . . . . . . . 11 $/\$
193	100, 191, 192	sylancl 694	. . . . . . . . . 10
194	66, 120	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12
195	15, 194	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11
196	4, 195	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10
197	193, 196	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9
198		xp2nd 7199	. . . . . . . . 9
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . 8
200	13, 8	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11
201	4, 200	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10
202	193, 201	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9
203		xp1st 7198	. . . . . . . . 9
204	202, 203	syl 17	. . . . . . . 8
205	199, 204	resubcld 10458	. . . . . . 7
206		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
207	187	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$
208	186, 207	syldan 487	. . . . . . . . . 10 $/\$
209	206, 43, 150, 48, 208	fsumf1o 14454	. . . . . . . . 9
210	100	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
211	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
212		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
213	15, 18, 212	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
214	211, 213	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 $/\$
215	163	ovolfsval 23239	. . . . . . . . . . 11 $/\$
216	210, 214, 215	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$
217	216	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9
218	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
219	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
220	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
221	219, 220	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
222	218, 221	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
223		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . 14
224	222, 223	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
225	18, 224	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
226	225	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$
227	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
228	227, 214	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
229		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . 13
230	228, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
231	230	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$
232	43, 226, 231	fsumsub 14520	. . . . . . . . . 10
233	69, 120	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13
234		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
235	234	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
236	235	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
237	236	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
238	233, 226, 237	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . . 12
239		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15
240		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16
241	240, 224	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
242	239, 241	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14
243	242	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13
244	199	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13
245	243, 244	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12
246	238, 245	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
247		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
248	247	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
249	248	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
250	249	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
251	233, 231, 250	fsum1p 14482	. . . . . . . . . . . 12
252	5, 6, 7, 8	algr0 15285	. . . . . . . . . . . . . . . 16
253	252	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
254	253	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
255	254	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
256	7	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . 15
257	194	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15
258		fzp1ss 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
259	70, 258	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
260	259	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
261	260, 231	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
262		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
263	262	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
264	263	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
265	264	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
266	7, 256, 257, 261, 265	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . . . 14
267		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
268	267, 267	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
269	268	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
270	269	sumeq1i 14428	. . . . . . . . . . . . . . 15
271		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
272	271	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
273	272	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
274	273	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
275	274	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
276	275	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . 15
277	270, 276	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
278	266, 277	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
279	255, 278	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
280	251, 279	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
281	246, 280	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
282	204	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11
283		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
284		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
285	15, 283, 284	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
286	219, 285	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
287	218, 286	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
288		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . 15
289	287, 288	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
290	240, 289	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
291	239, 290	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12
292	291	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11
293	244, 243, 282, 292	addsub4d 10439	. . . . . . . . . 10
294	232, 281, 293	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9
295	209, 217, 294	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
296	295, 189	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7
297		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
298	297	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14
299	298, 64	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
300	120, 299	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
301	300	simprd 479	. . . . . . . . . . 11
302	96, 97, 98, 99, 100, 73, 101, 4, 102	ovolicc2lem1 23285	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
303	195, 302	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
304	301, 303	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
305	304	simp3d 1075	. . . . . . . . 9
306	96, 97, 98, 99, 100, 73, 101, 4, 102	ovolicc2lem1 23285	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
307	200, 306	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
308	104, 307	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
309	308	simp2d 1074	. . . . . . . . 9
310	97, 204, 199, 96, 305, 309	lt2subd 10651	. . . . . . . 8
311	158, 205, 310	ltled 10185	. . . . . . 7
312	240	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
313		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
314	257	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
315		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
316	70, 314, 315	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
317	313, 316	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
318	317	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
319	312	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
320	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
321	319, 320	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
322	318, 321	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
323		infssuzle 11771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ inf
324	69, 323	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 inf
325	68, 324	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
326	322, 325	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
327	312, 326	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
328	96, 97, 98, 99, 100, 73, 101, 4, 102, 11, 9, 103, 104, 8, 6, 64	ovolicc2lem2 23286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
329	327, 328	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
330	329	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
331		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
332	10, 240, 331	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
333	103	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
334	333	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
335		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
336	335	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
337	336	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
338	337	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
339	338, 337	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
340		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
341	339, 340	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
342	341	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16
343	332, 334, 342	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
344	330, 343	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
345	5, 6, 7, 8, 9	algrp1 15287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
346	240, 345	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
347	344, 346	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
348	240, 285	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
349	96, 97, 98, 99, 100, 73, 101, 4, 102	ovolicc2lem1 23285	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
350	348, 349	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
351	347, 350	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
352	351	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 $/\$
353	290, 241, 352	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 $/\$
354	239, 290, 241, 353	fsumle 14531	. . . . . . . . 9
355	242, 291	subge0d 10617	. . . . . . . . 9
356	354, 355	mpbird 247	. . . . . . . 8
357	242, 291	resubcld 10458	. . . . . . . . 9
358	205, 357	addge01d 10615	. . . . . . . 8
359	356, 358	mpbid 222	. . . . . . 7
360	158, 205, 296, 311, 359	letrd 10194	. . . . . 6
361	360, 295	breqtrrd 4681	. . . . 5
362	361	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$
363		fzfid 12772	. . . . 5 $/\$ $/\$
364	170	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
365	169	simprd 479	. . . . . 6 $/\$
366	365	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
367	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
368	367	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
369	368	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
370	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
371		ltle 10126	. . . . . . . . . 10 $/\$
372	369, 370, 371	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
373	368, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
374		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11
375	374	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
376		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 $/\$
377	373, 375, 376	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
378	372, 377	sylibrd 249	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
379	378	ralimdva 2962	. . . . . . 7 $/\$
380	379	impr 649	. . . . . 6 $/\$ $/\$
381		dfss3 3592	. . . . . 6
382	380, 381	sylibr 224	. . . . 5 $/\$ $/\$
383	363, 364, 366, 382	fsumless 14528	. . . 4 $/\$ $/\$
384	185, 190, 172, 362, 383	letrd 10194	. . 3 $/\$ $/\$
385		eqidd 2623	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
386		simprl 794	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
387	386, 5	syl6eleq 2711	. . . . . 6 $/\$ $/\$
388	364	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
389	385, 387, 388	fsumser 14461	. . . . 5 $/\$ $/\$
390	99	fveq1i 6192	. . . . 5
391	389, 390	syl6eqr 2674	. . . 4 $/\$ $/\$
392	181	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
393		ffn 6045	. . . . . . . 8
394	175, 393	syl 17	. . . . . . 7
395	394	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
396		fnfvelrn 6356	. . . . . 6 $/\$
397	395, 386, 396	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$
398		supxrub 12154	. . . . 5 $/\$
399	392, 397, 398	syl2anc 693	. . . 4 $/\$ $/\$
400	391, 399	eqbrtrd 4675	. . 3 $/\$ $/\$
401	160, 173, 184, 384, 400	xrletrd 11993	. 2 $/\$ $/\$
402	157, 401	rexlimddv 3035	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cpw 4158

csn 4177

cuni 4436 class class class wbr 4653

cxp 5112

crn 5115

cres 5116

cima 5117

ccom 5118

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167

cdom 7953

cfn 7955

csup 8346 infcinf 8347

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cz 11377

cuz 11687

cioo 12175

cico 12177

cicc 12178

cfz 12326

cseq 12801

cabs 13974

csu 14416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417

This theorem is referenced by: ovolicc2lem5 23289

W3C validator