Theorem dprdlub 18425

Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdlub.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dprdlub.2	|- ( ph -> dom S = I )
dprdlub.3	|- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
dprdlub.4	|- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( S ` k ) C_ T )

Assertion

Ref	Expression
dprdlub	|- ( ph -> ( G DProd S ) C_ T )

Distinct variable groups:   k, G   k, I   ph, k   S, k   T, k

Proof of Theorem dprdlub

Dummy variables f h i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdlub.1	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd S )
2		dprdlub.2	. . 3 |- ( ph -> dom S = I )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		eqid 2622	. . . 4 |- { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) }
5	3, 4	dprdval 18402	. . 3 |- ( ( G dom DProd S /\ dom S = I ) -> ( G DProd S ) = ran ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsumg f ) ) )
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( G DProd S ) = ran ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsumg f ) ) )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
8	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G dom DProd S )
9		dprdgrp 18404	. . . . . 6 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
10		grpmnd 17429	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> G e. Mnd )
12	1, 2	dprddomcld 18400	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> I e. _V )
14		dprdlub.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> T e. (SubGrp ` G ) )
16		subgsubm 17616	. . . . . 6 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> T e. (SubMnd ` G ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> T e. (SubMnd ` G ) )
18	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> dom S = I )
19		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } )
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
21	4, 8, 18, 19, 20	dprdff 18411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f : I --> ( Base ` G ) )
22		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( f : I --> ( Base ` G ) -> f Fn I )
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f Fn I )
24		dprdlub.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( S ` k ) C_ T )
25	24	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) /\ k e. I ) -> ( S ` k ) C_ T )
26	4, 8, 18, 19	dprdfcl 18412	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) /\ k e. I ) -> ( f ` k ) e. ( S ` k ) )
27	25, 26	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) /\ k e. I ) -> ( f ` k ) e. T )
28	27	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> A. k e. I ( f ` k ) e. T )
29		ffnfv 6388	. . . . . 6 |- ( f : I --> T <-> ( f Fn I /\ A. k e. I ( f ` k ) e. T ) )
30	23, 28, 29	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f : I --> T )
31	4, 8, 18, 19, 7	dprdfcntz 18414	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ran f C_ ( (Cntz ` G ) ` ran f ) )
32	4, 8, 18, 19	dprdffsupp 18413	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> f finSupp ( 0g ` G ) )
33	3, 7, 11, 13, 17, 30, 31, 32	gsumzsubmcl 18318	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } ) -> ( G gsumg f ) e. T )
34		eqid 2622	. . . 4 |- ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsumg f ) ) = ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsumg f ) )
35	33, 34	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsumg f ) ) : { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } --> T )
36		frn 6053	. . 3 |- ( ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsumg f ) ) : { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } --> T -> ran ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsumg f ) ) C_ T )
37	35, 36	syl 17	. 2 |- ( ph -> ran ( f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp ( 0g ` G ) } |-> ( G gsumg f ) ) C_ T )
38	6, 37	eqsstrd 3639	1 |- ( ph -> ( G DProd S ) C_ T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dprdspan  18426  dprdz  18429  dprdcntz2  18437  dprd2dlem1  18440  dprdsplit  18447  ablfac1eu  18472