Theorem dprdcntz2 18437

Description: The function S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dprdcntz2.2	|- ( ph -> dom S = I )
dprdcntz2.c	|- ( ph -> C C_ I )
dprdcntz2.d	|- ( ph -> D C_ I )
dprdcntz2.i	|- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
dprdcntz2.z	|- Z = (Cntz ` G )

Assertion

Ref	Expression
dprdcntz2	|- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )

Proof of Theorem dprdcntz2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz2.1	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd S )
2		dprdcntz2.2	. . . 4 |- ( ph -> dom S = I )
3		dprdcntz2.c	. . . 4 |- ( ph -> C C_ I )
4	1, 2, 3	dprdres 18427	. . 3 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` C ) /\ ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( G DProd S ) ) )
5	4	simpld 475	. 2 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
6		dmres 5419	. . 3 |- dom ( S |` C ) = ( C i^i dom S )
7	3, 2	sseqtr4d 3642	. . . 4 |- ( ph -> C C_ dom S )
8		df-ss 3588	. . . 4 |- ( C C_ dom S <-> ( C i^i dom S ) = C )
9	7, 8	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( C i^i dom S ) = C )
10	6, 9	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> dom ( S |` C ) = C )
11		dprdgrp 18404	. . . 4 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
12	1, 11	syl 17	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
13		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
14	13	dprdssv 18415	. . 3 |- ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G )
15		dprdcntz2.z	. . . 4 |- Z = (Cntz ` G )
16	13, 15	cntzsubg 17769	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
17	12, 14, 16	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
18		fvres 6207	. . . 4 |- ( x e. C -> ( ( S |` C ) ` x ) = ( S ` x ) )
19	18	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( S |` C ) ` x ) = ( S ` x ) )
20		dprdcntz2.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D C_ I )
21	1, 2, 20	dprdres 18427	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` D ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( G DProd S ) ) )
22	21	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
23	22	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> G dom DProd ( S |` D ) )
24		dprdsubg 18423	. . . . 5 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
25	23, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
26	3	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. I )
27	1, 2	dprdf2 18406	. . . . . 6 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
28	27	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( S ` x ) e. (SubGrp ` G ) )
29	26, 28	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( S ` x ) e. (SubGrp ` G ) )
30		dmres 5419	. . . . . . 7 |- dom ( S |` D ) = ( D i^i dom S )
31	20, 2	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D C_ dom S )
32		df-ss 3588	. . . . . . . 8 |- ( D C_ dom S <-> ( D i^i dom S ) = D )
33	31, 32	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D i^i dom S ) = D )
34	30, 33	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( S |` D ) = D )
35	34	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> dom ( S |` D ) = D )
36	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> G e. Grp )
37	13	subgss 17595	. . . . . . 7 |- ( ( S ` x ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` x ) C_ ( Base ` G ) )
38	29, 37	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( S ` x ) C_ ( Base ` G ) )
39	13, 15	cntzsubg 17769	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( S ` x ) C_ ( Base ` G ) ) -> ( Z ` ( S ` x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
40	36, 38, 39	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( Z ` ( S ` x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
41		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( y e. D -> ( ( S |` D ) ` y ) = ( S ` y ) )
42	41	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( S |` D ) ` y ) = ( S ` y ) )
43	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> G dom DProd S )
44	2	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> dom S = I )
45	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> D C_ I )
46	45	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> y e. I )
47	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> x e. I )
48		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> y e. D )
49		noel 3919	. . . . . . . . . . . 12 |- -. x e. (/)
50		elin 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( C i^i D ) <-> ( x e. C /\ x e. D ) )
51		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
52	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( C i^i D ) <-> x e. (/) ) )
53	50, 52	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x e. C /\ x e. D ) <-> x e. (/) ) )
54	49, 53	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( x e. C /\ x e. D ) )
55		imnan 438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. C -> -. x e. D ) <-> -. ( x e. C /\ x e. D ) )
56	54, 55	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. C -> -. x e. D ) )
57	56	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> -. x e. D )
58	57	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> -. x e. D )
59		nelne2 2891	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. D /\ -. x e. D ) -> y =/= x )
60	48, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> y =/= x )
61	43, 44, 46, 47, 60, 15	dprdcntz 18407	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( S ` y ) C_ ( Z ` ( S ` x ) ) )
62	42, 61	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( S |` D ) ` y ) C_ ( Z ` ( S ` x ) ) )
63	23, 35, 40, 62	dprdlub 18425	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( Z ` ( S ` x ) ) )
64	15, 25, 29, 63	cntzrecd 18091	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( S ` x ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
65	19, 64	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( S |` C ) ` x ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
66	5, 10, 17, 65	dprdlub 18425	1 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( S |` D ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-cmn 18195  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dprd2da  18441  dmdprdsplit  18446  ablfac1eulem  18471  ablfac1eu  18472