Theorem edglnl 26038

Description: The edges incident with a vertex N are the edges joining N with other vertices and the loops on N in a pseudograph. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
edglnl.v	|- V = (Vtx ` G )
edglnl.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
edglnl	|- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } )

Distinct variable groups:   v, E   i, G   i, N, v   i, V, v

Allowed substitution hints:   E( i)   G( v)

Proof of Theorem edglnl

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 4567	. . . 4 |- U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } = { i e. dom E | E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } = { i e. dom E | E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } )
3	2	uneq1d 3766	. 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = ( { i e. dom E | E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) )
4		unrab 3898	. . 3 |- ( { i e. dom E | E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = { i e. dom E | ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) }
5		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) -> N e. ( E ` i ) )
6	5	rexlimivw 3029	. . . . . . 7 |- ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) -> N e. ( E ` i ) )
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) -> N e. ( E ` i ) ) )
8		snidg 4206	. . . . . . . 8 |- ( N e. V -> N e. { N } )
9	8	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> N e. { N } )
10		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( ( E ` i ) = { N } -> ( N e. ( E ` i ) <-> N e. { N } ) )
11	9, 10	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( ( E ` i ) = { N } -> N e. ( E ` i ) ) )
12	7, 11	jaod 395	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) -> N e. ( E ` i ) ) )
13		upgruhgr 25997	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UPGraph -> G e. UHGraph )
14		edglnl.e	. . . . . . . . . 10 |- E = (iEdg ` G )
15	14	uhgrfun 25961	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> Fun E )
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( G e. UPGraph -> Fun E )
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> Fun E )
18	14	iedgedg 25943	. . . . . . 7 |- ( ( Fun E /\ i e. dom E ) -> ( E ` i ) e. (Edg ` G ) )
19	17, 18	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( E ` i ) e. (Edg ` G ) )
20		edglnl.v	. . . . . . . . . 10 |- V = (Vtx ` G )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
22	20, 21	upgredg 26032	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( E ` i ) e. (Edg ` G ) ) -> E. n e. V E. m e. V ( E ` i ) = { n , m } )
23	22	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( G e. UPGraph -> ( ( E ` i ) e. (Edg ` G ) -> E. n e. V E. m e. V ( E ` i ) = { n , m } ) )
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( ( E ` i ) e. (Edg ` G ) -> E. n e. V E. m e. V ( E ` i ) = { n , m } ) )
25		dfsn2 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { n } = { n , n }
26	25	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { n , n } = { n }
27		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. { n } -> N = n )
28		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N = n -> { N } = { n } )
29	28	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N = n -> { n } = { N } )
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. { n } -> { n } = { N } )
31	26, 30	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. { n } -> { n , n } = { N } )
32	31, 26	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. { n , n } -> { n , n } = { N } )
33		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = n -> { n , m } = { n , n } )
34	33	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = n -> ( N e. { n , m } <-> N e. { n , n } ) )
35	33	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = n -> ( { n , m } = { N } <-> { n , n } = { N } ) )
36	34, 35	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( ( N e. { n , m } -> { n , m } = { N } ) <-> ( N e. { n , n } -> { n , n } = { N } ) ) )
37	32, 36	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( N e. { n , m } -> { n , m } = { N } ) )
38	37	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m = n /\ N e. { n , m } ) -> { n , m } = { N } )
39	38	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m = n /\ N e. { n , m } ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) )
40	39	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. { n , m } -> ( m = n -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) )
41	40	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) -> ( m = n -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) )
42	41	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) )
43		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m =/= n /\ ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) ) -> N e. { n , m } )
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m =/= n /\ ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) ) -> m =/= n )
45	44	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m =/= n /\ ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) ) -> n =/= m )
46		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m =/= n /\ ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) ) -> ( n e. V /\ m e. V ) )
47		prproe 4434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. { n , m } /\ n =/= m /\ ( n e. V /\ m e. V ) ) -> E. v e. ( V \ { N } ) v e. { n , m } )
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m =/= n /\ ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) ) -> E. v e. ( V \ { N } ) v e. { n , m } )
49		r19.42v 3092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) <-> ( N e. { n , m } /\ E. v e. ( V \ { N } ) v e. { n , m } ) )
50	43, 48, 49	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m =/= n /\ ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) ) -> E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) )
51	50	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m =/= n /\ ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m =/= n -> ( ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) )
53	42, 52	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. V /\ ( n e. V /\ m e. V ) /\ N e. { n , m } ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) )
54	53	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. V -> ( ( n e. V /\ m e. V ) -> ( N e. { n , m } -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) ) )
55	54	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( ( n e. V /\ m e. V ) -> ( N e. { n , m } -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) ) )
56	55	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) /\ ( n e. V /\ m e. V ) ) -> ( N e. { n , m } -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) )
57		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` i ) = { n , m } -> ( N e. ( E ` i ) <-> N e. { n , m } ) )
58		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E ` i ) = { n , m } -> ( v e. ( E ` i ) <-> v e. { n , m } ) )
59	57, 58	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E ` i ) = { n , m } -> ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) <-> ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) ) )
60	59	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` i ) = { n , m } -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) <-> E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) ) )
61		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` i ) = { n , m } -> ( ( E ` i ) = { N } <-> { n , m } = { N } ) )
62	60, 61	orbi12d 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` i ) = { n , m } -> ( ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) <-> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) )
63	57, 62	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( E ` i ) = { n , m } -> ( ( N e. ( E ` i ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) ) <-> ( N e. { n , m } -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. { n , m } /\ v e. { n , m } ) \/ { n , m } = { N } ) ) ) )
64	56, 63	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) /\ ( n e. V /\ m e. V ) ) -> ( ( E ` i ) = { n , m } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) ) ) )
65	64	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( E. n e. V E. m e. V ( E ` i ) = { n , m } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) ) ) )
66	24, 65	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( ( E ` i ) e. (Edg ` G ) -> ( N e. ( E ` i ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) ) ) )
67	19, 66	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( N e. ( E ` i ) -> ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) ) )
68	12, 67	impbid 202	. . . 4 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ i e. dom E ) -> ( ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) <-> N e. ( E ` i ) ) )
69	68	rabbidva 3188	. . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> { i e. dom E | ( E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) \/ ( E ` i ) = { N } ) } = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } )
70	4, 69	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( { i e. dom E | E. v e. ( V \ { N } ) ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } )
71	3, 70	eqtrd 2656	1 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   U_ciun 4520   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951   UPGraph cupgr 25975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977

This theorem is referenced by:  numedglnl  26039