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Theorem numedglnl 26039
Description: The number of edges incident with a vertex N is the number of edges joining N with other vertices and the number of loops on N in a pseudograph of finite size. (Contributed by AV, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
edglnl.v |- V = (Vtx ` G )
edglnl.e |- E = (iEdg ` G )
Assertion
Ref Expression
numedglnl |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) = ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) )
Distinct variable groups:   v, E   i, G   i, N, v   i, V, v   i, E   v, G
Proof of Theorem numedglnl
Dummy variables m n w j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 8192 . . . . . . 7 |- ( V e. Fin -> ( V \ { N } ) e. Fin )
21adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> ( V \ { N } ) e. Fin )
323ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( V \ { N } ) e. Fin )
4 dmfi 8244 . . . . . . . . 9 |- ( E e. Fin -> dom E e. Fin )
5 rabfi 8185 . . . . . . . . 9 |- ( dom E e. Fin -> { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin )
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 |- ( E e. Fin -> { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin )
76adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin )
873ad2ant2 1083 . . . . . 6 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin )
98adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin )
10 notnotb 304 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( E ` i ) <-> -. -. N e. ( E ` i ) )
11 notnotb 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( E ` i ) <-> -. -. v e. ( E ` i ) )
12 upgruhgr 25997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( G e. UPGraph -> G e. UHGraph )
13 edglnl.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- E = (iEdg ` G )
1413uhgrfun 25961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( G e. UHGraph -> Fun E )
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( G e. UPGraph -> Fun E )
1613iedgedg 25943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Fun E /\ i e. dom E ) -> ( E ` i ) e. (Edg ` G ) )
1715, 16sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. UPGraph /\ i e. dom E ) -> ( E ` i ) e. (Edg ` G ) )
18 edglnl.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- V = (Vtx ` G )
19 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
2018, 19upgredg 26032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( E ` i ) e. (Edg ` G ) ) -> E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } )
2117, 20syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. UPGraph /\ i e. dom E ) -> E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } )
2221ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( G e. UPGraph -> ( i e. dom E -> E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } ) )
23223ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( i e. dom E -> E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } ) )
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) -> ( i e. dom E -> E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } ) )
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) -> ( i e. dom E -> E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } ) )
2625imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) -> E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } )
27 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> v =/= N )
28 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. ( V \ { N } ) -> w =/= N )
29 3elpr2eq 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( N e. { m , n } /\ v e. { m , n } /\ w e. { m , n } ) /\ ( v =/= N /\ w =/= N ) ) -> v = w )
3029expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( v =/= N /\ w =/= N ) -> ( ( N e. { m , n } /\ v e. { m , n } /\ w e. { m , n } ) -> v = w ) )
31303expd 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( v =/= N /\ w =/= N ) -> ( N e. { m , n } -> ( v e. { m , n } -> ( w e. { m , n } -> v = w ) ) ) )
3231com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( v =/= N /\ w =/= N ) -> ( v e. { m , n } -> ( N e. { m , n } -> ( w e. { m , n } -> v = w ) ) ) )
33323imp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( v =/= N /\ w =/= N ) /\ v e. { m , n } /\ N e. { m , n } ) -> ( w e. { m , n } -> v = w ) )
3433con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( v =/= N /\ w =/= N ) /\ v e. { m , n } /\ N e. { m , n } ) -> ( -. v = w -> -. w e. { m , n } ) )
35343exp 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( v =/= N /\ w =/= N ) -> ( v e. { m , n } -> ( N e. { m , n } -> ( -. v = w -> -. w e. { m , n } ) ) ) )
3635com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( v =/= N /\ w =/= N ) -> ( -. v = w -> ( N e. { m , n } -> ( v e. { m , n } -> -. w e. { m , n } ) ) ) )
3736imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( v =/= N /\ w =/= N ) /\ -. v = w ) -> ( N e. { m , n } -> ( v e. { m , n } -> -. w e. { m , n } ) ) )
38 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) <-> N e. { m , n } ) )
39 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( E ` i ) = { m , n } -> ( v e. ( E ` i ) <-> v e. { m , n } ) )
40 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( E ` i ) = { m , n } -> ( w e. ( E ` i ) <-> w e. { m , n } ) )
4140notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( E ` i ) = { m , n } -> ( -. w e. ( E ` i ) <-> -. w e. { m , n } ) )
4239, 41imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( E ` i ) = { m , n } -> ( ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) <-> ( v e. { m , n } -> -. w e. { m , n } ) ) )
4338, 42imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( E ` i ) = { m , n } -> ( ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) <-> ( N e. { m , n } -> ( v e. { m , n } -> -. w e. { m , n } ) ) ) )
4437, 43syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( v =/= N /\ w =/= N ) /\ -. v = w ) -> ( ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) ) )
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( v =/= N /\ w =/= N ) /\ -. v = w ) /\ ( m e. V /\ n e. V ) ) -> ( ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) ) )
4645rexlimdvva 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( v =/= N /\ w =/= N ) /\ -. v = w ) -> ( E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) ) )
4746ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v =/= N /\ w =/= N ) -> ( -. v = w -> ( E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) ) ) )
4827, 28, 47syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) -> ( -. v = w -> ( E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) ) ) )
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) -> ( -. v = w -> ( E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) ) ) )
5049imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) -> ( E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) ) )
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) -> ( E. m e. V E. n e. V ( E ` i ) = { m , n } -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) ) )
5226, 51mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) -> ( N e. ( E ` i ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) ) )
5352imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) /\ N e. ( E ` i ) ) -> ( v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) )
5411, 53syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) /\ N e. ( E ` i ) ) -> ( -. -. v e. ( E ` i ) -> -. w e. ( E ` i ) ) )
5554orrd 393 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) /\ N e. ( E ` i ) ) -> ( -. v e. ( E ` i ) \/ -. w e. ( E ` i ) ) )
5655ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) -> ( N e. ( E ` i ) -> ( -. v e. ( E ` i ) \/ -. w e. ( E ` i ) ) ) )
5710, 56syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) -> ( -. -. N e. ( E ` i ) -> ( -. v e. ( E ` i ) \/ -. w e. ( E ` i ) ) ) )
5857orrd 393 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) -> ( -. N e. ( E ` i ) \/ ( -. v e. ( E ` i ) \/ -. w e. ( E ` i ) ) ) )
59 anandi 871 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( E ` i ) /\ ( v e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) <-> ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
6059bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) <-> ( N e. ( E ` i ) /\ ( v e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
6160notbii 310 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) <-> -. ( N e. ( E ` i ) /\ ( v e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
62 ianor 509 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( N e. ( E ` i ) /\ ( v e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) <-> ( -. N e. ( E ` i ) \/ -. ( v e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
63 ianor 509 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( v e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) <-> ( -. v e. ( E ` i ) \/ -. w e. ( E ` i ) ) )
6463orbi2i 541 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. N e. ( E ` i ) \/ -. ( v e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) <-> ( -. N e. ( E ` i ) \/ ( -. v e. ( E ` i ) \/ -. w e. ( E ` i ) ) ) )
6561, 62, 643bitri 286 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) <-> ( -. N e. ( E ` i ) \/ ( -. v e. ( E ` i ) \/ -. w e. ( E ` i ) ) ) )
6658, 65sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) /\ i e. dom E ) -> -. ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
6766ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) -> A. i e. dom E -. ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
68 inrab 3899 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } ) = { i e. dom E | ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) }
6968eqeq1i 2627 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } ) = (/) <-> { i e. dom E | ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) } = (/) )
70 rabeq0 3957 . . . . . . . . . . 11 |- ( { i e. dom E | ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) } = (/) <-> A. i e. dom E -. ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
7169, 70bitri 264 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } ) = (/) <-> A. i e. dom E -. ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) /\ ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
7267, 71sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) /\ -. v = w ) -> ( { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } ) = (/) )
7372ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) -> ( -. v = w -> ( { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } ) = (/) ) )
7473orrd 393 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( v e. ( V \ { N } ) /\ w e. ( V \ { N } ) ) ) -> ( v = w \/ ( { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } ) = (/) ) )
7574ralrimivva 2971 . . . . . 6 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> A. v e. ( V \ { N } ) A. w e. ( V \ { N } ) ( v = w \/ ( { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } ) = (/) ) )
76 eleq1w 2684 . . . . . . . . 9 |- ( v = w -> ( v e. ( E ` i ) <-> w e. ( E ` i ) ) )
7776anbi2d 740 . . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) <-> ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) ) )
7877rabbidv 3189 . . . . . . 7 |- ( v = w -> { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } = { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } )
7978disjor 4634 . . . . . 6 |- (Disj v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } <-> A. v e. ( V \ { N } ) A. w e. ( V \ { N } ) ( v = w \/ ( { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ w e. ( E ` i ) ) } ) = (/) ) )
8075, 79sylibr 224 . . . . 5 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> Disj v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } )
813, 9, 80hashiun 14554 . . . 4 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( # ` U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) = sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) )
8281eqcomd 2628 . . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) = ( # ` U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) )
8382oveq1d 6665 . 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) = ( ( # ` U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) )
849ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> A. v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin )
85 iunfi 8254 . . . 4 |- ( ( ( V \ { N } ) e. Fin /\ A. v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin ) -> U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin )
863, 84, 85syl2anc 693 . . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin )
87 rabfi 8185 . . . . . 6 |- ( dom E e. Fin -> { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } e. Fin )
884, 87syl 17 . . . . 5 |- ( E e. Fin -> { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } e. Fin )
8988adantl 482 . . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } e. Fin )
90893ad2ant2 1083 . . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } e. Fin )
91 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( E ` i ) = ( E ` j ) )
9291eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( E ` i ) = { N } <-> ( E ` j ) = { N } ) )
9392elrab 3363 . . . . . 6 |- ( j e. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } <-> ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) )
94 eldifn 3733 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( V \ { N } ) -> -. v e. { N } )
95 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E ` j ) = { N } -> ( v e. ( E ` j ) <-> v e. { N } ) )
9695notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` j ) = { N } -> ( -. v e. ( E ` j ) <-> -. v e. { N } ) )
9794, 96syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E ` j ) = { N } -> ( v e. ( V \ { N } ) -> -. v e. ( E ` j ) ) )
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) -> ( v e. ( V \ { N } ) -> -. v e. ( E ` j ) ) )
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) ) -> ( v e. ( V \ { N } ) -> -. v e. ( E ` j ) ) )
10099imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) ) /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> -. v e. ( E ` j ) )
101100intnand 962 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) ) /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> -. ( N e. ( E ` j ) /\ v e. ( E ` j ) ) )
102101intnand 962 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) ) /\ v e. ( V \ { N } ) ) -> -. ( j e. dom E /\ ( N e. ( E ` j ) /\ v e. ( E ` j ) ) ) )
103102ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) ) -> A. v e. ( V \ { N } ) -. ( j e. dom E /\ ( N e. ( E ` j ) /\ v e. ( E ` j ) ) ) )
104 eliun 4524 . . . . . . . . . 10 |- ( j e. U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } <-> E. v e. ( V \ { N } ) j e. { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } )
105104notbii 310 . . . . . . . . 9 |- ( -. j e. U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } <-> -. E. v e. ( V \ { N } ) j e. { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } )
106 ralnex 2992 . . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( V \ { N } ) -. j e. { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } <-> -. E. v e. ( V \ { N } ) j e. { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } )
10791eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( N e. ( E ` i ) <-> N e. ( E ` j ) ) )
10891eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( v e. ( E ` i ) <-> v e. ( E ` j ) ) )
109107, 108anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) <-> ( N e. ( E ` j ) /\ v e. ( E ` j ) ) ) )
110109elrab 3363 . . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } <-> ( j e. dom E /\ ( N e. ( E ` j ) /\ v e. ( E ` j ) ) ) )
111110notbii 310 . . . . . . . . . 10 |- ( -. j e. { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } <-> -. ( j e. dom E /\ ( N e. ( E ` j ) /\ v e. ( E ` j ) ) ) )
112111ralbii 2980 . . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( V \ { N } ) -. j e. { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } <-> A. v e. ( V \ { N } ) -. ( j e. dom E /\ ( N e. ( E ` j ) /\ v e. ( E ` j ) ) ) )
113105, 106, 1123bitr2i 288 . . . . . . . 8 |- ( -. j e. U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } <-> A. v e. ( V \ { N } ) -. ( j e. dom E /\ ( N e. ( E ` j ) /\ v e. ( E ` j ) ) ) )
114103, 113sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) /\ ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) ) -> -. j e. U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } )
115114ex 450 . . . . . 6 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( ( j e. dom E /\ ( E ` j ) = { N } ) -> -. j e. U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) )
11693, 115syl5bi 232 . . . . 5 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( j e. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } -> -. j e. U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) )
117116ralrimiv 2965 . . . 4 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> A. j e. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } -. j e. U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } )
118 disjr 4018 . . . 4 |- ( ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = (/) <-> A. j e. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } -. j e. U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } )
119117, 118sylibr 224 . . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = (/) )
120 hashun 13171 . . 3 |- ( ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } e. Fin /\ { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } e. Fin /\ ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } i^i { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = (/) ) -> ( # ` ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) = ( ( # ` U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) )
12186, 90, 119, 120syl3anc 1326 . 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( # ` ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) = ( ( # ` U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) )
12218, 13edglnl 26038 . . . 4 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } )
1231223adant2 1080 . . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } )
124123fveq2d 6195 . 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( # ` ( U_ v e. ( V \ { N } ) { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } u. { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) = ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) )
12583, 121, 1243eqtr2d 2662 1 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) /\ N e. V ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( # ` { i e. dom E | ( N e. ( E ` i ) /\ v e. ( E ` i ) ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) = ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   + caddc 9939   #chash 13117   sum_csu 14416  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951   UPGraph cupgr 25975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem3  26443
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