Theorem elq 11790

Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elq	|- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elq

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 11789	. . 3 |- QQ = ( / " ( ZZ X. NN ) )
2	1	eleq2i 2693	. 2 |- ( A e. QQ <-> A e. ( / " ( ZZ X. NN ) ) )
3		df-div 10685	. . . 4 |- / = ( x e. CC , y e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( iota_ z e. CC ( y x. z ) = x ) )
4		riotaex 6615	. . . 4 |- ( iota_ z e. CC ( y x. z ) = x ) e. _V
5	3, 4	fnmpt2i 7239	. . 3 |- / Fn ( CC X. ( CC \ { 0 } ) )
6		zsscn 11385	. . . 4 |- ZZ C_ CC
7		nncn 11028	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> x e. CC )
8		nnne0 11053	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> x =/= 0 )
9		eldifsn 4317	. . . . . 6 |- ( x e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
10	7, 8, 9	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( x e. NN -> x e. ( CC \ { 0 } ) )
11	10	ssriv 3607	. . . 4 |- NN C_ ( CC \ { 0 } )
12		xpss12 5225	. . . 4 |- ( ( ZZ C_ CC /\ NN C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( ZZ X. NN ) C_ ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) )
13	6, 11, 12	mp2an 708	. . 3 |- ( ZZ X. NN ) C_ ( CC X. ( CC \ { 0 } ) )
14		ovelimab 6812	. . 3 |- ( ( / Fn ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ZZ X. NN ) C_ ( CC X. ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( A e. ( / " ( ZZ X. NN ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) ) )
15	5, 13, 14	mp2an 708	. 2 |- ( A e. ( / " ( ZZ X. NN ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
16	2, 15	bitri 264	1 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   X. cxp 5112   "cima 5117   Fn wfn 5883   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   QQcq 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-q 11789

This theorem is referenced by:  qmulz  11791  znq  11792  qre  11793  zq  11794  qexALT  11803  qaddcl  11804  qnegcl  11805  qmulcl  11806  qreccl  11808  eirr  14933  qnnen  14942  sqrt2irr  14979  qredeu  15372  pceu  15551  pcqmul  15558  pcqcl  15561  pcneg  15578  pcz  15585  pcadd  15593  qsssubdrg  19805  ostthlem1  25316  ipasslem5  27690