pcadd - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pcadd		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem pcadd 15593

Description: An inequality for the prime count of a sum. This is the source of the ultrametric inequality for the p-adic metric. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pcadd.1
pcadd.2
pcadd.3
pcadd.4

**Assertion**
Ref	Expression
pcadd

Proof of Theorem pcadd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcadd.2	. . 3
2		elq 11790	. . 3
3	1, 2	sylib 208	. 2
4		pcadd.3	. . 3
5		elq 11790	. . 3
6	4, 5	sylib 208	. 2
7		pcadd.1	. . . . . . . 8
8		pcxcl 15565	. . . . . . . 8 $/\$
9	7, 1, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7
10		xrleid 11983	. . . . . . 7
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6
12	11	adantr 481	. . . . 5 $/\$
13		oveq2 6658	. . . . . . 7
14		qcn 11802	. . . . . . . . 9
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . 8
16	15	addid1d 10236	. . . . . . 7
17	13, 16	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 $/\$
18	17	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
19	12, 18	breqtrrd 4681	. . . 4 $/\$
20	19	a1d 25	. . 3 $/\$ $/\$
21		reeanv 3107	. . . 4 $/\$ $/\$
22		reeanv 3107	. . . . . 6 $/\$ $/\$
23	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		pcqcl 15561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
31	23, 28, 29, 30	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	31	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
34		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
35		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
36		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
37	34, 35, 36	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38	33, 37	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	32, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40		pc0 15559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41	23, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	41	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	39, 42	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		pcadd.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
45	44	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47	46	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
48	45, 47	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	43, 49	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	27, 50	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	52	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	53, 54	div0d 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57	56	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58	55, 57	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	51, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		pczcl 15553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	23, 26, 60, 61	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	25, 62	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	63	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64, 53	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	26	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	23, 52	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	25, 68	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	63	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	69	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	67, 64, 53, 70, 71, 72, 54	divdivdivd 10848	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75		pcdiv 15557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
76	23, 26, 60, 52, 75	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	74, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	25	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	25	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	68	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	62	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	79, 80, 81, 82	expsubd 13019	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	78, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	67, 53, 64, 70, 54, 72, 71	divdivdivd 10848	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	85, 86, 87	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	66, 73, 88	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	91, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		pcqcl 15561	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
94	23, 91, 50, 93	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	79, 80, 94	expclzd 13013	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	79, 80, 94	expne0d 13014	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	92, 95, 96	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	90, 97	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100, 29	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	102	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104	div0d 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107	106	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108	105, 107	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	101, 109	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		pczcl 15553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
112	23, 99, 110, 111	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	25, 112	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	114, 103	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	99	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	23, 102	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	25, 118	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	113	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	119	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	117, 114, 103, 120, 121, 122, 104	divdivdivd 10848	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		pcdiv 15557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
126	23, 99, 110, 102, 125	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	124, 126	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	118	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	112	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	79, 80, 129, 130	expsubd 13019	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	128, 131	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	100	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	117, 103, 114, 120, 104, 122, 121	divdivdivd 10848	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	133, 134, 135	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	116, 123, 136	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	137	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139		qcn 11802	. . . . . . . . . . . 12
140	28, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	79, 80, 31	expclzd 13013	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	79, 80, 31	expne0d 13014	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	140, 141, 142	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	138, 143	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145		eluz 11701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
146	94, 31, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	45, 146	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148		pczdvds 15567	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
149	23, 26, 60, 148	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	63	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
152	150, 71, 26, 151	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	149, 152	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		pczndvds2 15571	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
155	23, 26, 60, 154	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	153, 155	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157		pcdvds 15568	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
158	23, 52, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	69	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
160	52	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
162	159, 72, 160, 161	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	158, 162	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	52	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	69	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	52	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	69	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	164, 165, 166, 167	divgt0d 10959	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169		elnnz 11387	. . . . . . . . . . 11 $/\$
170	163, 168, 169	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171		pcndvds2 15572	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	23, 52, 171	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	170, 172	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174		pczdvds 15567	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
175	23, 99, 110, 174	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	113	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
178	176, 121, 99, 177	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	175, 178	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180		pczndvds2 15571	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
181	23, 99, 110, 180	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	179, 181	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183		pcdvds 15568	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
184	23, 102, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	119	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	102	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
188	185, 122, 186, 187	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	184, 188	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	102	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	119	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	102	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	119	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194	190, 191, 192, 193	divgt0d 10959	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
195		elnnz 11387	. . . . . . . . . . 11 $/\$
196	189, 194, 195	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197		pcndvds2 15572	. . . . . . . . . . 11 $/\$
198	23, 102, 197	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	196, 198	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	23, 98, 144, 147, 156, 173, 182, 199	pcaddlem 15592	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	200	expr 643	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202	201	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
203	22, 202	syl5bir 233	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	203	rexlimdvva 3038	. . . 4 $/\$ $/\$
205	21, 204	syl5bir 233	. . 3 $/\$ $/\$
206	20, 205	pm2.61dane 2881	. 2 $/\$
207	3, 6, 206	mp2and 715	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cq 11788

cexp 12860

cdvds 14983

cprime 15385

cpc 15541

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542

This theorem is referenced by: pcadd2 15594 padicabv 25319

W3C validator