Theorem erclwwlksntr 26948

Description: .~ is a transitive relation over the set of closed walks (defined as words). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlksn.w	|- W = ( N ClWWalksN G )
erclwwlksn.r	|- .~ = { <. t , u >. | ( t e. W /\ u e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) t = ( u cyclShift n ) ) }

Assertion

Ref	Expression
erclwwlksntr	|- ( ( x .~ y /\ y .~ z ) -> x .~ z )

Distinct variable groups:   t, W, u   n, N, u, t, x   y, n, t, u, x   n, W   z, n, t, u, y, x

Allowed substitution hints:   .~ ( x, y, z, u, t, n)   G( x, y, z, u, t, n)   N( y, z)   W( x, y, z)

Proof of Theorem erclwwlksntr

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. 2 |- x e. _V
2		vex 3203	. 2 |- y e. _V
3		vex 3203	. 2 |- z e. _V
4		erclwwlksn.w	. . . . . 6 |- W = ( N ClWWalksN G )
5		erclwwlksn.r	. . . . . 6 |- .~ = { <. t , u >. | ( t e. W /\ u e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) t = ( u cyclShift n ) ) }
6	4, 5	erclwwlksneqlen 26945	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( x .~ y -> ( # ` x ) = ( # ` y ) ) )
7	6	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( x .~ y -> ( # ` x ) = ( # ` y ) ) )
8	4, 5	erclwwlksneqlen 26945	. . . . . . 7 |- ( ( y e. _V /\ z e. _V ) -> ( y .~ z -> ( # ` y ) = ( # ` z ) ) )
9	8	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( y .~ z -> ( # ` y ) = ( # ` z ) ) )
10	4, 5	erclwwlksneq 26944	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ z e. _V ) -> ( y .~ z <-> ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) )
11	10	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( y .~ z <-> ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) )
12	4, 5	erclwwlksneq 26944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( x .~ y <-> ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) ) )
13	12	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( x .~ y <-> ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) ) )
14		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) /\ ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) /\ ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) ) -> x e. W )
15		simplr2 1104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) /\ ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) /\ ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) ) -> z e. W )
16		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = m -> ( y cyclShift n ) = ( y cyclShift m ) )
17	16	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = m -> ( x = ( y cyclShift n ) <-> x = ( y cyclShift m ) ) )
18	17	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) <-> E. m e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift m ) )
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = k -> ( z cyclShift n ) = ( z cyclShift k ) )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = k -> ( y = ( z cyclShift n ) <-> y = ( z cyclShift k ) ) )
21	20	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) <-> E. k e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift k ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
23	22	clwwlknbp 26885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( z e. ( N ClWWalksN G ) -> ( z e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` z ) = N ) )
24		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( # ` z ) = N <-> N = ( # ` z ) )
25	24	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( # ` z ) = N -> N = ( # ` z ) )
26	23, 25	simpl2im 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( z e. ( N ClWWalksN G ) -> N = ( # ` z ) )
27	26, 4	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( z e. W -> N = ( # ` z ) )
28	27	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> N = ( # ` z ) )
29	23	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( z e. ( N ClWWalksN G ) -> z e. Word (Vtx ` G ) )
30	29, 4	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( z e. W -> z e. Word (Vtx ` G ) )
31	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> z e. Word (Vtx ` G ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> z e. Word (Vtx ` G ) )
33		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) )
34	32, 33	cshwcsh2id 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N = ( # ` z ) -> ( 0 ... N ) = ( 0 ... ( # ` z ) ) )
36		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( # ` z ) = ( # ` y ) -> ( 0 ... ( # ` z ) ) = ( 0 ... ( # ` y ) ) )
37	36	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( 0 ... ( # ` z ) ) = ( 0 ... ( # ` y ) ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( 0 ... ( # ` z ) ) = ( 0 ... ( # ` y ) ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> ( 0 ... ( # ` z ) ) = ( 0 ... ( # ` y ) ) )
40	35, 39	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( 0 ... N ) = ( 0 ... ( # ` y ) ) )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) <-> m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) ) )
42	41	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... N ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) <-> ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) ) )
43	35	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N = ( # ` z ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) )
44	43	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( N = ( # ` z ) -> ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) <-> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( ( k e. ( 0 ... N ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) <-> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) )
46	42, 45	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( ( ( m e. ( 0 ... N ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) <-> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) ) )
47	35	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( N = ( # ` z ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) <-> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) <-> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) ) )
49	34, 46, 48	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( N = ( # ` z ) /\ ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) ) -> ( ( ( m e. ( 0 ... N ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) )
50	28, 49	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> ( ( ( m e. ( 0 ... N ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... N ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) )
51	50	exp5l 646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( x = ( y cyclShift m ) -> ( k e. ( 0 ... N ) -> ( y = ( z cyclShift k ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) ) ) )
52	51	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( y = ( z cyclShift k ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) )
53	52	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) -> ( E. k e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift k ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) )
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( x = ( y cyclShift m ) -> ( E. k e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift k ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) )
55	54	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift m ) -> ( E. k e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift k ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) )
56	21, 55	syl7bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift m ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) )
57	18, 56	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( x e. W /\ y e. W ) /\ z e. W ) /\ ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) )
58	57	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. W /\ y e. W ) -> ( z e. W -> ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) ) ) )
59	58	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) -> ( z e. W -> ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) -> ( ( x e. W /\ y e. W ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) ) ) )
60	59	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) -> ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) -> ( ( x e. W /\ y e. W ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) ) )
61	60	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) -> ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) -> ( ( x e. W /\ y e. W ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) ) )
62	61	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) /\ ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) -> ( ( x e. W /\ y e. W ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) )
63	62	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. W /\ y e. W ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) -> ( ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) /\ ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) )
64	63	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) -> ( ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) /\ ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) )
65	64	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) /\ ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) /\ ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) )
66	14, 15, 65	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) /\ ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) /\ ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) ) -> ( x e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) )
67	4, 5	erclwwlksneq 26944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. _V /\ z e. _V ) -> ( x .~ z <-> ( x e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) )
68	67	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( x .~ z <-> ( x e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( z cyclShift n ) ) ) )
69	66, 68	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) /\ ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) ) /\ ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) ) -> ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> x .~ z ) )
70	69	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) -> ( ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) -> ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> x .~ z ) ) ) )
71	70	com24 95	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) -> ( ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) -> x .~ z ) ) ) )
72	71	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) -> ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) -> ( ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) -> x .~ z ) ) ) ) )
73	72	com4t 93	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( x e. W /\ y e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) x = ( y cyclShift n ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) -> ( ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) -> x .~ z ) ) ) ) )
74	13, 73	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( x .~ y -> ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) -> ( ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) -> x .~ z ) ) ) ) )
75	74	com25 99	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( y e. W /\ z e. W /\ E. n e. ( 0 ... N ) y = ( z cyclShift n ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) -> ( x .~ y -> x .~ z ) ) ) ) )
76	11, 75	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( y .~ z -> ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) -> ( x .~ y -> x .~ z ) ) ) ) )
77	9, 76	mpdd 43	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( y .~ z -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) -> ( x .~ y -> x .~ z ) ) ) )
78	77	com24 95	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( x .~ y -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) -> ( y .~ z -> x .~ z ) ) ) )
79	7, 78	mpdd 43	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( x .~ y -> ( y .~ z -> x .~ z ) ) )
80	79	impd 447	. 2 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( ( x .~ y /\ y .~ z ) -> x .~ z ) )
81	1, 2, 3, 80	mp3an 1424	1 |- ( ( x .~ y /\ y .~ z ) -> x .~ z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   {copab 4712   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534  Vtxcvtx 25874   ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  erclwwlksn  26949