Theorem cshwcsh2id 13574

Description: A cyclically shifted word can be reconstructed by cyclically shifting it again twice. Lemma for erclwwlkstr 26936 and erclwwlksntr 26948. (Contributed by AV, 9-Apr-2018.) (Revised by AV, 11-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cshwcsh2id.1	|- ( ph -> z e. Word V )
cshwcsh2id.2	|- ( ph -> ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cshwcsh2id	|- ( ph -> ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) ) )

Distinct variable group:   k, m, n, x, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, k, m, n)   V( x, y, z, k, m, n)

Proof of Theorem cshwcsh2id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z cyclShift k ) -> ( y cyclShift m ) = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) )
2	1	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z cyclShift k ) -> ( x = ( y cyclShift m ) <-> x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) )
3	2	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( y = ( z cyclShift k ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) <-> ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) ) )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( y = ( z cyclShift k ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) <-> ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) ) )
5		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> k e. NN0 )
6		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) -> m e. NN0 )
7		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( k + m ) e. NN0 )
8	5, 6, 7	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( k + m ) e. NN0 )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( k + m ) e. NN0 )
10		elfz3nn0 12434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
11	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
12		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( k + m ) <_ ( # ` z ) )
13		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) <-> ( ( k + m ) e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ ( k + m ) <_ ( # ` z ) ) )
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) )
16		cshwcsh2id.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> z e. Word V )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> z e. Word V )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> z e. Word V )
19		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> k e. ZZ )
20	19	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> k e. ZZ )
21		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) -> m e. ZZ )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> m e. ZZ )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> m e. ZZ )
24		2cshw 13559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. Word V /\ k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) = ( z cyclShift ( k + m ) ) )
25	18, 20, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) = ( z cyclShift ( k + m ) ) )
26	25	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) <-> x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) )
27	26	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> x = ( z cyclShift ( k + m ) ) )
28	15, 27	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) )
29	28	exp41 638	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) ) ) )
30	29	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) ) ) )
31	30	com24 95	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) -> ( x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) ) ) )
32	31	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) ) )
33	32	com12 32	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) ) )
34	33	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( y = ( z cyclShift k ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) ) )
35	4, 34	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( y = ( z cyclShift k ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) ) )
36	35	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) ) )
37	36	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) ) )
38		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( n = ( k + m ) -> ( z cyclShift n ) = ( z cyclShift ( k + m ) ) )
39	38	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( n = ( k + m ) -> ( x = ( z cyclShift n ) <-> x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) )
40	39	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( k + m ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( k + m ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) )
41	37, 40	syl6com 37	. 2 |- ( ( ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) ) )
42		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 0 <_ k /\ k <_ ( # ` z ) ) ) )
43		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. NN0 -> m e. ZZ )
44		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k + m ) e. ZZ )
45	44	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ZZ -> ( m e. ZZ -> ( k + m ) e. ZZ ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( k + m ) e. ZZ ) )
47	46	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k + m ) e. ZZ )
48		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( m e. ZZ /\ ( ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( # ` z ) e. ZZ )
49	47, 48	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( m e. ZZ /\ ( ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ )
50	49	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ZZ -> ( ( ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ ) )
51	43, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. NN0 -> ( ( ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ ) )
52	51	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m e. NN0 -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ ) )
53	52	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( m e. NN0 -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( # ` z ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 0 <_ k /\ k <_ ( # ` z ) ) ) -> ( m e. NN0 -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ ) )
55	42, 54	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( m e. NN0 -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ ) )
56	6, 55	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ )
58		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) <-> ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ k <_ ( # ` z ) ) )
59		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
60		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` z ) e. NN0 -> ( # ` z ) e. RR )
61	59, 60	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) -> ( k e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) )
62		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
63	61, 62	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( k e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) /\ m e. RR ) )
64		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( k e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( # ` z ) e. RR )
65		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR ) -> ( k + m ) e. RR )
66	65	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( k e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( k + m ) e. RR )
67	64, 66	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( k e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( # ` z ) < ( k + m ) <-> -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) ) )
68	64, 66	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( k e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( # ` z ) < ( k + m ) <-> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
69	68	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( k e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( ( # ` z ) < ( k + m ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
70	67, 69	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( k e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) /\ m e. RR ) -> ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
71	63, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
72	71	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) -> ( m e. NN0 -> ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) )
73	72	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ k <_ ( # ` z ) ) -> ( m e. NN0 -> ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) )
74	58, 73	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( m e. NN0 -> ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) )
75	6, 74	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
76	75	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
78	77	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) )
79		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. NN <-> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ZZ /\ 0 < ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
80	57, 78, 79	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. NN )
81	80	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. NN0 )
82	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
83		cshwcsh2id.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) )
84		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( 0 ... ( # ` y ) ) = ( 0 ... ( # ` z ) ) )
85	84	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) <-> m e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) )
86	85	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) <-> ( m e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) ) )
87		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` z ) ) <-> ( m e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ m <_ ( # ` z ) ) )
88	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) -> k e. RR )
89	88, 62	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( k e. RR /\ m e. RR ) )
90	60, 60	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( # ` z ) e. NN0 -> ( ( # ` z ) e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) )
91	90	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( # ` z ) e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) )
92		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( k e. RR /\ m e. RR ) /\ ( ( # ` z ) e. RR /\ ( # ` z ) e. RR ) ) -> ( ( k <_ ( # ` z ) /\ m <_ ( # ` z ) ) -> ( k + m ) <_ ( ( # ` z ) + ( # ` z ) ) ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( k <_ ( # ` z ) /\ m <_ ( # ` z ) ) -> ( k + m ) <_ ( ( # ` z ) + ( # ` z ) ) ) )
94		nn0readdcl 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( k e. NN0 /\ m e. NN0 ) -> ( k + m ) e. RR )
95	94	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( k + m ) e. RR )
96	60	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( # ` z ) e. RR )
97	95, 96, 96	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) <-> ( k + m ) <_ ( ( # ` z ) + ( # ` z ) ) ) )
98	93, 97	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( k <_ ( # ` z ) /\ m <_ ( # ` z ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
99	98	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) /\ m e. NN0 ) -> ( m <_ ( # ` z ) -> ( k <_ ( # ` z ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) ) )
100	99	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) -> ( m e. NN0 -> ( m <_ ( # ` z ) -> ( k <_ ( # ` z ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) ) ) )
101	100	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 ) -> ( k <_ ( # ` z ) -> ( m <_ ( # ` z ) -> ( m e. NN0 -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) ) ) )
102	101	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ k <_ ( # ` z ) ) -> ( m <_ ( # ` z ) -> ( m e. NN0 -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) ) )
103	102	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. NN0 -> ( m <_ ( # ` z ) -> ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ k <_ ( # ` z ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) ) )
104	103	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ ( # ` z ) ) -> ( ( k e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ k <_ ( # ` z ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
105	58, 104	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m e. NN0 /\ m <_ ( # ` z ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
106	105	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( m e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ m <_ ( # ` z ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
107	87, 106	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
108	107	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) )
109	86, 108	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` y ) = ( # ` z ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( # ` y ) = ( # ` z ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
111	83, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
112	111	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
113	112	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) )
114		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) <-> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. NN0 /\ ( # ` z ) e. NN0 /\ ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) <_ ( # ` z ) ) )
115	81, 82, 113, 114	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) )
117	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> z e. Word V )
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> z e. Word V )
119	19	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> k e. ZZ )
120	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> m e. ZZ )
121	118, 119, 120, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) = ( z cyclShift ( k + m ) ) )
122	19, 21, 44	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) -> ( k + m ) e. ZZ )
123		cshwsublen 13542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. Word V /\ ( k + m ) e. ZZ ) -> ( z cyclShift ( k + m ) ) = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
124	117, 122, 123	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( z cyclShift ( k + m ) ) = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
125	121, 124	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
126	125	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) -> ( x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) <-> x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) )
127	126	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
128	116, 127	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) ) /\ ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) )
129	128	exp41 638	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) ) ) ) )
130	129	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) -> ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) ) ) ) )
131	130	com24 95	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) -> ( x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) ) ) ) )
132	131	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( ( z cyclShift k ) cyclShift m ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) ) ) )
133	3, 132	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( y = ( z cyclShift k ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) ) ) ) )
134	133	com23 86	. . . . 5 |- ( y = ( z cyclShift k ) -> ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) -> ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) ) ) ) )
135	134	impcom 446	. . . 4 |- ( ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) -> ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) ) ) )
136	135	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) ) )
137		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( n = ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) -> ( z cyclShift n ) = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) )
138	137	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( n = ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) -> ( x = ( z cyclShift n ) <-> x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) )
139	138	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ x = ( z cyclShift ( ( k + m ) - ( # ` z ) ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) )
140	136, 139	syl6com 37	. 2 |- ( ( -. ( k + m ) <_ ( # ` z ) /\ ph ) -> ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) ) )
141	41, 140	pm2.61ian 831	1 |- ( ph -> ( ( ( m e. ( 0 ... ( # ` y ) ) /\ x = ( y cyclShift m ) ) /\ ( k e. ( 0 ... ( # ` z ) ) /\ y = ( z cyclShift k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( # ` z ) ) x = ( z cyclShift n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  erclwwlkstr  26936  erclwwlksntr  26948