Theorem eulerpartlemd 30428

Description: Lemma for eulerpart 30444: D is the set of distinct part. of N. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemd	|- ( A e. D <-> ( A e. P /\ ( A " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )

Distinct variable groups:   f, g, k, n, A   f, N   P, g, n

Allowed substitution hints:   D( f, g, k, n)   P( f, k)   N( g, k, n)   O( f, g, k, n)

Proof of Theorem eulerpartlemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6190	. . . . 5 |- ( g = A -> ( g ` n ) = ( A ` n ) )
2	1	breq1d 4663	. . . 4 |- ( g = A -> ( ( g ` n ) <_ 1 <-> ( A ` n ) <_ 1 ) )
3	2	ralbidv 2986	. . 3 |- ( g = A -> ( A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 <-> A. n e. NN ( A ` n ) <_ 1 ) )
4		eulerpart.d	. . 3 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
5	3, 4	elrab2 3366	. 2 |- ( A e. D <-> ( A e. P /\ A. n e. NN ( A ` n ) <_ 1 ) )
6		2z 11409	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
7		fzoval 12471	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. ZZ -> ( 0..^ 2 ) = ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ 2 ) = ( 0 ... ( 2 - 1 ) )
9		fzo0to2pr 12553	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
10		2m1e1 11135	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - 1 ) = 1
11	10	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
12	8, 9, 11	3eqtr3i 2652	. . . . . . 7 |- { 0 , 1 } = ( 0 ... 1 )
13	12	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( ( A ` n ) e. { 0 , 1 } <-> ( A ` n ) e. ( 0 ... 1 ) )
14		eulerpart.p	. . . . . . . . . 10 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
15	14	eulerpartleme 30425	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P <-> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) = N ) )
16	15	simp1bi 1076	. . . . . . . 8 |- ( A e. P -> A : NN --> NN0 )
17	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. NN0 )
18		1nn0 11308	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
19		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ` n ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( ( A ` n ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 /\ ( A ` n ) <_ 1 ) )
20		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` n ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 /\ ( A ` n ) <_ 1 ) <-> ( ( ( A ` n ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) /\ ( A ` n ) <_ 1 ) )
21	19, 20	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( A ` n ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( ( ( A ` n ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) /\ ( A ` n ) <_ 1 ) )
22	21	baib 944	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ` n ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( A ` n ) <_ 1 ) )
23	17, 18, 22	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( A e. P /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( A ` n ) <_ 1 ) )
24	13, 23	syl5rbb 273	. . . . 5 |- ( ( A e. P /\ n e. NN ) -> ( ( A ` n ) <_ 1 <-> ( A ` n ) e. { 0 , 1 } ) )
25	24	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( A e. P -> ( A. n e. NN ( A ` n ) <_ 1 <-> A. n e. NN ( A ` n ) e. { 0 , 1 } ) )
26		ffun 6048	. . . . . 6 |- ( A : NN --> NN0 -> Fun A )
27	16, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. P -> Fun A )
28		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( A : NN --> NN0 -> dom A = NN )
29		eqimss2 3658	. . . . . 6 |- ( dom A = NN -> NN C_ dom A )
30	16, 28, 29	3syl 18	. . . . 5 |- ( A e. P -> NN C_ dom A )
31		funimass4 6247	. . . . 5 |- ( ( Fun A /\ NN C_ dom A ) -> ( ( A " NN ) C_ { 0 , 1 } <-> A. n e. NN ( A ` n ) e. { 0 , 1 } ) )
32	27, 30, 31	syl2anc 693	. . . 4 |- ( A e. P -> ( ( A " NN ) C_ { 0 , 1 } <-> A. n e. NN ( A ` n ) e. { 0 , 1 } ) )
33	25, 32	bitr4d 271	. . 3 |- ( A e. P -> ( A. n e. NN ( A ` n ) <_ 1 <-> ( A " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
34	33	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( A e. P /\ A. n e. NN ( A ` n ) <_ 1 ) <-> ( A e. P /\ ( A " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )
35	5, 34	bitri 264	1 |- ( A e. D <-> ( A e. P /\ ( A " NN ) C_ { 0 , 1 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  30443