Theorem fiphp3d 37383

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	|- ( ph -> A ~~ NN )
fiphp3d.b	|- ( ph -> B e. Fin )
fiphp3d.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	|- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y   x, B, y   y, D

Allowed substitution hint:   D( x)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 8172	. . . . 5 |- -. om e. Fin
2		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
3		risset 3062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. B <-> E. y e. B y = D )
4		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = D <-> D = y )
5	4	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. B y = D <-> E. y e. B D = y )
6	3, 5	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. B <-> E. y e. B D = y )
7	2, 6	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B D = y )
8	7	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A E. y e. B D = y )
9		rabid2 3118	. . . . . . . . 9 |- ( A = { x e. A | E. y e. B D = y } <-> A. x e. A E. y e. B D = y )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = { x e. A | E. y e. B D = y } )
11		iunrab 4567	. . . . . . . 8 |- U_ y e. B { x e. A | D = y } = { x e. A | E. y e. B D = y }
12	10, 11	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ y e. B { x e. A | D = y } = A )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> A e. Fin ) )
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A ~~ NN )
15		nnenom 12779	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
16		entr 8008	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
17	14, 15, 16	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~~ om )
18		enfi 8176	. . . . . . 7 |- ( A ~~ om -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
20	13, 19	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> om e. Fin ) )
21	1, 20	mtbiri 317	. . . 4 |- ( ph -> -. U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
22		fiphp3d.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
23		iunfi 8254	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
24	22, 23	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
25	21, 24	mtand 691	. . 3 |- ( ph -> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
26		rexnal 2995	. . 3 |- ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin <-> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
27	25, 26	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin )
28	17, 15	jctir 561	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) )
29		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { x e. A | D = y } C_ A
30	29	jctl 564	. . . . 5 |- ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) )
31		ctbnfien 37382	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) /\ ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
32	28, 30, 31	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
33	32	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
34	33	reximdv 3016	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
35	27, 34	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  pellexlem5  37397