pellexlem5 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pellexlem5 37397

Description: Lemma for pellex 37399. Invoking fiphp3d 37383, we have infinitely many near-solutions for some specific norm. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pellexlem5	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem pellexlem5 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pellexlem4 37396	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		fzfi 12771	. . . 4
3		diffi 8192	. . . 4 $\$
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 $/\$ $\$
5		elopab 4983	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
7	6	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
11	7, 10	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
12		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13
13		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13
14	12, 13	op1st 7176	. . . . . . . . . . . 12
15	14	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
16	12, 13	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
18	17	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
19	15, 18	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
20	11, 19	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
21	20	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		simprrl 804	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
28		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . 14
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
30		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	30	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
32		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
33	32	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
34		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
36	31, 35	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
37	29, 36	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
38		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15
39		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	40	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
42		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43	42	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
45	41, 44	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
46		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
47	39, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
48		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
49	38, 47, 48	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
50	49	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
52	37	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
53	50	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
54		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55	37, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
57	56	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
58		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
61		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	49, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
63	57, 49, 59, 60, 62	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
64		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65	56, 50, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
66	63, 65	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
67		absle 14055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
68	67	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
69	52, 53, 66, 68	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	37, 51, 50, 69, 71	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
73	22, 23, 25, 72	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	73	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75		simprl 794	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
76	75	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$
78	74, 76, 77	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
79	21, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
80	79	ex 450	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
81	80	exlimdvv 1862	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
82	5, 81	syl5bi 232	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
83	82	imp 445	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
84	1, 4, 83	fiphp3d 37383	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		eldif 3584	. . . . . 6 $\$ $/\$
86		elfzelz 12342	. . . . . . . 8
87		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
88		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . 13
89	88	biimpri 218	. . . . . . . . . . . 12
90	89	necon3bi 2820	. . . . . . . . . . 11
91	90	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
92	87, 91	jca 554	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	92	3exp 1264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	86, 93	syl5 34	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	94	impd 447	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
96	85, 95	syl5bi 232	. . . . 5 $/\$ $\$ $/\$
97		simp2l 1087	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		simp2r 1088	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99		nnex 11026	. . . . . . . . . . 11
100	99, 99	xpex 6962	. . . . . . . . . 10
101		opabssxp 5193	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
102		ssdomg 8001	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	100, 101, 102	mp2 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
104		xpnnen 14939	. . . . . . . . 9
105		domentr 8015	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	103, 104, 105	mp2an 708	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
107		ensym 8005	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	107	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	100, 101	ssexi 4803	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
110		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
111	110	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113	112	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
115	111, 114	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
116	115	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14
117	116	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
122		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
125	121, 124	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
126	125, 19	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127	126	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	127, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	118, 119, 129	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	2eximdv 1848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		elopab 4983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134		elopab 4983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	132, 133, 134	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	117, 137	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141		ssdomg 8001	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	109, 140, 141	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143		endomtr 8014	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	108, 142, 143	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145		sbth 8080	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	106, 144, 145	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	97, 98, 146	jca32 558	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	147	3exp 1264	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	96, 148	syld 47	. . . 4 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	149	impd 447	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	reximdv2 3014	. 2 $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	84, 151	mpd 15	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200 $\$ cdif 3571

wss 3574

csn 4177

cop 4183 class class class wbr 4653

copab 4712

cxp 5112

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167

cen 7952

cdom 7953

cfn 7955

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cq 11788

cfz 12326

cfl 12591

cexp 12860

csqrt 13973

cabs 13974

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-numer 15443 df-denom 15444

This theorem is referenced by: pellex 37399

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