Theorem nnenom 12779

Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnenom	|- NN ~~ om

Proof of Theorem nnenom

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 8540	. . 3 |- om e. _V
2		nn0ex 11298	. . 3 |- NN0 e. _V
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
4	3	hashgf1o 12770	. . 3 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) : om -1-1-onto-> NN0
5		f1oen2g 7972	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ NN0 e. _V /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) : om -1-1-onto-> NN0 ) -> om ~~ NN0 )
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1424	. 2 |- om ~~ NN0
7		nn0ennn 12778	. 2 |- NN0 ~~ NN
8	6, 7	entr2i 8011	1 |- NN ~~ om

Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ~~ cen 7952   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  nnct  12780  supcvg  14588  xpnnen  14939  znnen  14941  qnnen  14942  rexpen  14957  aleph1re  14974  aleph1irr  14975  bitsf1  15168  unben  15613  odinf  17980  odhash  17989  cygctb  18293  1stcfb  21248  2ndcredom  21253  1stcelcls  21264  hauspwdom  21304  met1stc  22326  met2ndci  22327  re2ndc  22604  iscmet3  23091  ovolctb2  23260  ovolfi  23262  ovoliunlem3  23272  iunmbl2  23325  uniiccdif  23346  dyadmbl  23368  opnmblALT  23371  mbfimaopnlem  23422  itg2seq  23509  aannenlem3  24085  dirith2  25217  nmounbseqi  27632  nmobndseqi  27634  minvecolem5  27737  padct  29497  f1ocnt  29559  dmvlsiga  30192  sigapildsys  30225  volmeas  30294  omssubadd  30362  carsgclctunlem3  30382  poimirlem30  33439  poimirlem32  33441  mblfinlem1  33446  ovoliunnfl  33451  heiborlem3  33612  heibor  33620  lzenom  37333  fiphp3d  37383  irrapx1  37392  pellex  37399  nnfoctb  39213  zenom  39219  qenom  39577  ioonct  39764  subsaliuncl  40576  caragenunicl  40738  caratheodory  40742  ovnsubaddlem2  40785