Theorem fmtno5 41469

Description: The 5 th Fermat number. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5	|- (FermatNo ` 5 ) = ;;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7

Proof of Theorem fmtno5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11082	. . . 4 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	fveq2i 6194	. . 3 |- (FermatNo ` 5 ) = (FermatNo ` ( 4 + 1 ) )
3		4nn0 11311	. . . 4 |- 4 e. NN0
4		fmtnorec1 41449	. . . 4 |- ( 4 e. NN0 -> (FermatNo ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` 4 ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- (FermatNo ` ( 4 + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` 4 ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 )
6	2, 5	eqtri 2644	. 2 |- (FermatNo ` 5 ) = ( ( ( (FermatNo ` 4 ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 )
7		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
8	3, 7	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 |- ; 4 2 e. NN0
9		9nn0 11316	. . . . . . . . . 10 |- 9 e. NN0
10	8, 9	deccl 11512	. . . . . . . . 9 |- ;; 4 2 9 e. NN0
11	10, 3	deccl 11512	. . . . . . . 8 |- ;;; 4 2 9 4 e. NN0
12	11, 9	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ;;;; 4 2 9 4 9 e. NN0
13		6nn0 11313	. . . . . . 7 |- 6 e. NN0
14	12, 13	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;;;; 4 2 9 4 9 6 e. NN0
15		7nn0 11314	. . . . . 6 |- 7 e. NN0
16	14, 15	deccl 11512	. . . . 5 |- ;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 e. NN0
17	16, 7	deccl 11512	. . . 4 |- ;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 e. NN0
18	17, 9	deccl 11512	. . 3 |- ;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9 e. NN0
19		6p1e7 11156	. . 3 |- ( 6 + 1 ) = 7
20		5nn0 11312	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
21	13, 20	deccl 11512	. . . . . . . 8 |- ; 6 5 e. NN0
22	21, 20	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ;; 6 5 5 e. NN0
23		3nn0 11310	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
24	22, 23	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;; 6 5 5 3 e. NN0
25		1nn0 11308	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
26		fmtno4 41464	. . . . . 6 |- (FermatNo ` 4 ) = ;;;; 6 5 5 3 7
27		3p1e4 11153	. . . . . . 7 |- ( 3 + 1 ) = 4
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ;;; 6 5 5 3 = ;;; 6 5 5 3
29	22, 23, 27, 28	decsuc 11535	. . . . . 6 |- (;;; 6 5 5 3 + 1 ) = ;;; 6 5 5 4
30		6cn 11102	. . . . . . 7 |- 6 e. CC
31		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
32		df-7 11084	. . . . . . 7 |- 7 = ( 6 + 1 )
33	30, 31, 32	mvrraddi 10298	. . . . . 6 |- ( 7 - 1 ) = 6
34	24, 15, 25, 26, 29, 33	decsubi 11583	. . . . 5 |- ( (FermatNo ` 4 ) - 1 ) = ;;;; 6 5 5 3 6
35	34	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( (FermatNo ` 4 ) - 1 ) ^ 2 ) = (;;;; 6 5 5 3 6 ^ 2 )
36		fmtno5lem4 41468	. . . 4 |- (;;;; 6 5 5 3 6 ^ 2 ) = ;;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9 6
37	35, 36	eqtri 2644	. . 3 |- ( ( (FermatNo ` 4 ) - 1 ) ^ 2 ) = ;;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9 6
38	18, 13, 19, 37	decsuc 11535	. 2 |- ( ( ( (FermatNo ` 4 ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) = ;;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7
39	6, 38	eqtri 2644	1 |- (FermatNo ` 5 ) = ;;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   9c9 11077   NN0cn0 11292  ;cdc 11493   ^cexp 12860  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  fmtno5fac  41494