Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec1 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem fmtnorec1 41449
Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec1 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` N ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) )
Proof of Theorem fmtnorec1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11333 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
2 fmtno 41441 . . 3 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> (FermatNo ` ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) )
31, 2syl 17 . 2 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) )
4 2nn0 11309 . . . . . . 7 |- 2 e. NN0
5 nn0expcl 12874 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
64, 5mpan 706 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
7 nn0expcl 12874 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ ( 2 ^ N ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. NN0 )
87nn0cnd 11353 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. NN0 /\ ( 2 ^ N ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. CC )
94, 6, 8sylancr 695 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. CC )
10 pncan1 10454 . . . . . 6 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. CC -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
119, 10syl 17 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) )
1211oveq1d 6665 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) - 1 ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) )
13 2cnne0 11242 . . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
146nn0zd 11480 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. ZZ )
15 2z 11409 . . . . . 6 |- 2 e. ZZ
1614, 15jctir 561 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) )
17 expmulz 12906 . . . . 5 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( ( 2 ^ N ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) ) -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) )
1813, 16, 17sylancr 695 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) )
19 2cn 11091 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
20 2ne0 11113 . . . . . . 7 |- 2 =/= 0
21 nn0z 11400 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
22 expp1z 12909 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
2319, 20, 21, 22mp3an12i 1428 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
2423eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
2524oveq2d 6666 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
2612, 18, 253eqtr2rd 2663 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) - 1 ) ^ 2 ) )
2726oveq1d 6665 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) )
28 fmtno 41441 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
2928eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) = (FermatNo ` N ) )
3029oveq1d 6665 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) - 1 ) = ( (FermatNo ` N ) - 1 ) )
3130oveq1d 6665 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) - 1 ) ^ 2 ) = ( ( (FermatNo ` N ) - 1 ) ^ 2 ) )
3231oveq1d 6665 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( (FermatNo ` N ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) )
333, 27, 323eqtrd 2660 1 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` ( N + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` N ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860  FermatNocfmtno 41439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fmtno 41440
This theorem is referenced by:  fmtnorec3  41460  fmtno5  41469
  Copyright terms: Public domain W3C validator