Theorem pncan1 10454

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	|- ( A e. CC -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		1cnd 10056	. 2 |- ( A e. CC -> 1 e. CC )
3	1, 2	pncand 10393	1 |- ( A e. CC -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  nn0split  12454  nn0disj  12455  elfzom1elp1fzo1  12568  sqoddm1div8  13028  wrdlenccats1lenm1  13399  ccatws1lenrevOLD  13408  ccats1swrdeq  13469  ltoddhalfle  15085  pwp1fsum  15114  flodddiv4  15137  prmop1  15742  cayhamlem1  20671  2lgslem1c  25118  2lgslem3a  25121  2lgslem3c  25123  2lgslem3d  25124  wlklenvm1  26517  wwlknp  26734  0enwwlksnge1  26749  wlkiswwlks1  26753  wspthsnwspthsnon  26811  wspthsnonn0vne  26813  elwspths2spth  26862  wwlksext2clwwlk  26924  clwwlkextfrlem1  27208  numclwlk2lem2f  27236  poimirlem4  33413  poimirlem10  33419  poimirlem19  33428  poimirlem28  33437  sumnnodd  39862  iccpartgtprec  41356  ccats1pfxeq  41421  fmtnom1nn  41444  fmtnorec1  41449  sfprmdvdsmersenne  41520  proththdlem  41530  41prothprmlem1  41534  dfodd6  41550  evenp1odd  41553  perfectALTVlem1  41630  altgsumbcALT  42131  fllog2  42362  nnpw2blen  42374  dig2nn1st  42399  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414  aacllem  42547