Theorem fmtnorec3 41460

Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec3	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` N ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) ) ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem fmtnorec3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 ... ( N - 2 ) ) e. Fin )
2		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) -> n e. NN0 )
3		fmtnonn 41443	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 -> (FermatNo ` n ) e. NN )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) -> (FermatNo ` n ) e. NN )
5	4	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) -> (FermatNo ` n ) e. CC )
6	5	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ) -> (FermatNo ` n ) e. CC )
7	1, 6	fprodcl 14682	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) e. CC )
8		2cn 11091	. . . . . 6 |- 2 e. CC
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. CC )
10		uznn0sub 11719	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
11		fmtnorec2 41455	. . . . . . 7 |- ( ( N - 2 ) e. NN0 -> (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = ( prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) )
13	12	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) + 2 ) = (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) )
14	7, 9, 13	mvlraddd 10444	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) = ( (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) - 2 ) )
15	14	oveq2d 6666	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) - 2 ) ) )
16	15	oveq2d 6666	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) ) ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) - 2 ) ) ) )
17		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. NN0 )
19		eluz2nn 11726	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
20		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
22	18, 21	nn0expcld 13031	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. NN0 )
23	18, 22	nn0expcld 13031	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. NN0 )
24	23	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
25		peano2nn0 11333	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 2 ) + 1 ) e. NN0 )
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N - 2 ) + 1 ) e. NN0 )
27		fmtnonn 41443	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - 2 ) + 1 ) e. NN0 -> (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) e. NN )
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) e. NN )
29	28	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) e. CC )
30	24, 29, 9	subdid 10486	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) - 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) )
31		eluzelcn 11699	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. CC )
32		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. CC )
34		subsub 10311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( N - ( 2 - 1 ) ) = ( ( N - 2 ) + 1 ) )
35	34	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 2 ) + 1 ) = ( N - ( 2 - 1 ) ) )
36	31, 9, 33, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N - 2 ) + 1 ) = ( N - ( 2 - 1 ) ) )
37		2m1e1 11135	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - 1 ) = 1
38	37	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( N - ( 2 - 1 ) ) = ( N - 1 )
39	36, 38	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N - 2 ) + 1 ) = ( N - 1 ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = (FermatNo ` ( N - 1 ) ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) )
42	41	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) )
43	30, 42	eqtrd 2656	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) - 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) )
44	43	oveq2d 6666	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( (FermatNo ` ( ( N - 2 ) + 1 ) ) - 2 ) ) ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) ) )
45		fmtnonn 41443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> (FermatNo ` ( N - 1 ) ) e. NN )
46	21, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( N - 1 ) ) e. NN )
47	46	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( N - 1 ) ) e. CC )
48	47	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) = (FermatNo ` ( N - 1 ) ) )
49	48	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( N - 1 ) ) = ( 1 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) )
50	49	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 1 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) )
51	33, 24, 47	adddird 10065	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 + ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) = ( ( 1 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) )
52	33, 24	addcomd 10238	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 + ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) )
53		fmtno 41441	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> (FermatNo ` ( N - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) )
54	21, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( N - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) + 1 ) )
55	52, 54	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 + ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = (FermatNo ` ( N - 1 ) ) )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 + ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) )
57	47	sqvald 13005	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) )
58	56, 57	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 1 + ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) )
59	50, 51, 58	3eqtr2d 2662	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) )
60	59	oveq1d 6665	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) )
61	24, 47	mulcld 10060	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) e. CC )
62	24, 9	mulcld 10060	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) e. CC )
63	47, 61, 62	addsubassd 10412	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) ) )
64		npcan1 10455	. . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
65	31, 64	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
66	65	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` N ) = (FermatNo ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
68		fmtnorec1 41449	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> (FermatNo ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) )
69	21, 68	syl 17	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) )
70		binom2sub1 12982	. . . . . . 7 |- ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) e. CC -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + 1 ) )
71	47, 70	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) ^ 2 ) = ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + 1 ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + 1 ) + 1 ) )
73	46	nnsqcld 13029	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) e. NN )
74	73	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) e. CC )
75	9, 47	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) e. CC )
76	74, 75	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) e. CC )
77	76, 33, 33	addassd 10062	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + 1 ) + 1 ) = ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + ( 1 + 1 ) ) )
78	32	2timesi 11147	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
79	78	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
81	80	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
82	77, 81	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + 1 ) + 1 ) = ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
83	8, 32	mulcli 10045	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) e. CC
84	83	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. 1 ) e. CC )
85	74, 75, 84	subadd23d 10414	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. 1 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) ) )
86	9, 33, 47	subdid 10486	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 x. 1 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) )
87	86	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 x. 1 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) )
88	87	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) + ( ( 2 x. 1 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) ) )
89	33, 47	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) e. CC )
90	9, 89	mulneg2d 10484	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. -u ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) = -u ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) )
91	33, 47	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -u ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) )
92		fmtnom1nn 41444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
93	21, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
94	91, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -u ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. -u ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
96	90, 95	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -u ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - -u ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
98	9, 89	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) e. CC )
99	74, 98	subnegd 10399	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - -u ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) ) )
100	9, 24	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) )
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) )
102	97, 99, 101	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( 1 - (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) )
103	85, 88, 102	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( 2 x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) )
104	72, 82, 103	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) - 1 ) ^ 2 ) + 1 ) = ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) )
105	67, 69, 104	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ^ 2 ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) = (FermatNo ` N ) )
106	60, 63, 105	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. (FermatNo ` ( N - 1 ) ) ) - ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) ) ) = (FermatNo ` N ) )
107	16, 44, 106	3eqtrrd 2661	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> (FermatNo ` N ) = ( (FermatNo ` ( N - 1 ) ) + ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. prod_ n e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) (FermatNo ` n ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   prod_cprod 14635  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by: (None)