Theorem fnlimf 39910

Description: The limit function of real functions, is a real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimf.p	|- F/ m ph
fnlimf.m	|- F/_ m F
fnlimf.n	|- F/_ x F
fnlimf.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fnlimf.f	|- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
fnlimf.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
fnlimf.g	|- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fnlimf	|- ( ph -> G : D --> RR )

Distinct variable groups:   D, m, n   n, F   m, Z, n, x   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( x, m)   D( x)   F( x, m)   G( x, m, n)   M( x, m, n)

Proof of Theorem fnlimf

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimf.p	. . . 4 |- F/ m ph
2		nfv 1843	. . . 4 |- F/ m z e. D
3	1, 2	nfan 1828	. . 3 |- F/ m ( ph /\ z e. D )
4		fnlimf.m	. . 3 |- F/_ m F
5		fnlimf.n	. . 3 |- F/_ x F
6		fnlimf.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
7		fnlimf.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
8	7	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
9		fnlimf.d	. . 3 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
10		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. D )
11	3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	fnlimfvre 39906	. 2 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) ) e. RR )
12		fnlimf.g	. . 3 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
13		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ x { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
14	9, 13	nfcxfr 2762	. . . 4 |- F/_ x D
15		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ z D
16		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ z ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
17		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x ~~>
18		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x Z
19		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x m
20	5, 19	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ x ( F ` m )
21		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x z
22	20, 21	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( F ` m ) ` z )
23	18, 22	nfmpt 4746	. . . . 5 |- F/_ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) )
24	17, 23	nffv 6198	. . . 4 |- F/_ x ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) )
25		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
26	25	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( x = z -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( x = z -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
28	14, 15, 16, 24, 27	cbvmptf 4748	. . 3 |- ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) = ( z e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
29	12, 28	eqtri 2644	. 2 |- G = ( z e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) ) )
30	11, 29	fmptd 6385	1 |- ( ph -> G : D --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   {crab 2916   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by: (None)