Theorem fnlimfvre 39906

Description: The limit function of real functions, applied to elements in its domain, evaluates to Real values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimfvre.p	|- F/ m ph
fnlimfvre.m	|- F/_ m F
fnlimfvre.n	|- F/_ x F
fnlimfvre.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fnlimfvre.f	|- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
fnlimfvre.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
fnlimfvre.x	|- ( ph -> X e. D )

Assertion

Ref	Expression
fnlimfvre	|- ( ph -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   n, F   m, X, n, x   m, Z, n, x   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( x, m)   D( x, m, n)   F( x, m)   M( x, m, n)

Proof of Theorem fnlimfvre

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimfvre.x	. . 3 |- ( ph -> X e. D )
2		fnlimfvre.d	. . . . . 6 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
3		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x Z
4		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( ZZ>= ` n )
5		fnlimfvre.n	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x F
6		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x m
7	5, 6	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( F ` m )
8	7	nfdm 5367	. . . . . . . . 9 |- F/_ x dom ( F ` m )
9	4, 8	nfiin 4549	. . . . . . . 8 |- F/_ x |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
10	3, 9	nfiun 4548	. . . . . . 7 |- F/_ x U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
11	10	ssrab2f 39300	. . . . . 6 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
12	2, 11	eqsstri 3635	. . . . 5 |- D C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
13	12	sseli 3599	. . . 4 |- ( X e. D -> X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
14		eliun 4524	. . . 4 |- ( X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) <-> E. n e. Z X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
15	13, 14	sylib 208	. . 3 |- ( X e. D -> E. n e. Z X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
16	1, 15	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. n e. Z X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
17		nfv 1843	. . 3 |- F/ n ph
18		nfv 1843	. . 3 |- F/ n ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR
19		fnlimfvre.p	. . . . . . 7 |- F/ m ph
20		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ m n e. Z
21		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ m X
22		nfii1 4551	. . . . . . . 8 |- F/_ m |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
23	21, 22	nfel 2777	. . . . . . 7 |- F/ m X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
24	19, 20, 23	nf3an 1831	. . . . . 6 |- F/ m ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
25		uzssz 11707	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
26		fnlimfvre.z	. . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
27	26	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( n e. Z <-> n e. ( ZZ>= ` M ) )
28	27	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
29	25, 28	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
30	29	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> n e. ZZ )
31		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
32		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
33	26, 32	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- Z e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> Z e. _V )
35	26	uztrn2 11705	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Z /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> j e. Z )
36	35	ssd 39252	. . . . . . 7 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
37	36	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
38		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ m e. Z ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
39		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ZZ>= ` n ) e. _V )
40		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> j e. ( ZZ>= ` n ) )
41	40	ssd 39252	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` n ) )
42		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
43		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
44	24, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 42, 43	climfveqmpt 39903	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) = ( ~~> ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
45	2	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. D <-> X e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
46	45	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. D -> X e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
47		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x X
48	7, 47	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x ( ( F ` m ) ` X )
49	3, 48	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) )
50		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x dom ~~>
51	49, 50	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~>
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = X -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
53	52	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = X -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) )
54	53	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> ) )
55	47, 10, 51, 54	elrabf 3360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } <-> ( X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> ) )
56	55	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } -> ( X e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> ) )
57	56	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> )
58	46, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. D -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> )
60		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) )
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m dom ~~>
62	60, 61	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~>
63		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m j e. Z
64	63	nfci 2754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m Z
65	64, 22	nfiun 4548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
66	62, 65	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ m { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
67	2, 66	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m D
68	21, 67	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m X e. D
69	68, 20	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m ( X e. D /\ n e. Z )
70	29	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> n e. ZZ )
71	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> Z e. _V )
72	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
73		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. D /\ n e. Z ) /\ m e. Z ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
74		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> ( ZZ>= ` n ) e. _V )
75		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` n )
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` n ) )
77		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. D /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
78		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. D /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
79	69, 70, 31, 71, 72, 73, 74, 76, 77, 78	climeldmeqmpt 39900	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> ) )
80	59, 79	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> )
81		climdm 14285	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( ~~> ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
82	80, 81	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. D /\ n e. Z ) -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( ~~> ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
83	1, 82	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( ~~> ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
84	83	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ~~> ( ~~> ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
85		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
86		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> n e. Z )
87		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j dom ( F ` m )
88		fnlimfvre.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m F
89		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m j
90	88, 89	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ m ( F ` j )
91	90	nfdm 5367	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m dom ( F ` j )
92		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( F ` m ) = ( F ` j ) )
93	92	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` j ) )
94	87, 91, 93	cbviin 4558	. . . . . . . . . . . 12 |- |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ j e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` j )
95	94	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) <-> X e. |^|_ j e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` j ) )
96	95	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> X e. |^|_ j e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` j ) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> X e. |^|_ j e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` j ) )
98		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> j e. ( ZZ>= ` n ) )
99		eliinid 39294	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. |^|_ j e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` j ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> X e. dom ( F ` j ) )
100	97, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> X e. dom ( F ` j ) )
101	100	3ad2antl3 1225	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> X e. dom ( F ` j ) )
102		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` n ) -> j e. ( ZZ>= ` n ) )
103		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ( F ` j ) ` X ) e. _V )
104	90, 21	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m ( ( F ` j ) ` X )
105	92	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = j -> ( ( F ` m ) ` X ) = ( ( F ` j ) ` X ) )
106		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) )
107	89, 104, 105, 106	fvmptf 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` n ) /\ ( ( F ` j ) ` X ) e. _V ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` j ) = ( ( F ` j ) ` X ) )
108	102, 103, 107	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` j ) = ( ( F ` j ) ` X ) )
109	108	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. dom ( F ` j ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` j ) = ( ( F ` j ) ` X ) )
110		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
111	35	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> j e. Z )
112	19, 63	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m ( ph /\ j e. Z )
113		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ m RR
114	90, 91, 113	nff 6041	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m ( F ` j ) : dom ( F ` j ) --> RR
115	112, 114	nfim 1825	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) : dom ( F ` j ) --> RR )
116		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( m e. Z <-> j e. Z ) )
117	116	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( ( ph /\ m e. Z ) <-> ( ph /\ j e. Z ) ) )
118	92, 93	feq12d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR <-> ( F ` j ) : dom ( F ` j ) --> RR ) )
119	117, 118	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = j -> ( ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR ) <-> ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) : dom ( F ` j ) --> RR ) ) )
120		fnlimfvre.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
121	115, 119, 120	chvar 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) : dom ( F ` j ) --> RR )
122	110, 111, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` j ) : dom ( F ` j ) --> RR )
123	122	3adantl3 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. dom ( F ` j ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` j ) : dom ( F ` j ) --> RR )
124		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. dom ( F ` j ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> X e. dom ( F ` j ) )
125	123, 124	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. dom ( F ` j ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` j ) ` X ) e. RR )
126	109, 125	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. dom ( F ` j ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` j ) e. RR )
127	85, 86, 101, 40, 126	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` j ) e. RR )
128	31, 30, 84, 127	climrecl 14314	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ~~> ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
129	44, 128	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
130	129	3exp 1264	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR ) ) )
131	17, 18, 130	rexlimd 3026	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. Z X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR ) )
132	16, 131	mpd 15	1 |- ( ph -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  fnlimfvre2  39909  fnlimf  39910  smflimlem4  40982  smflim  40985