Theorem frgrncvvdeqlem2 27164

Description: Lemma 2 for frgrncvvdeq 27173. In a friendship graph, for each neighbor of a vertex there is exactly one neighbor of another vertex so that there is an edge between these two neighbors. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v1	|- V = (Vtx ` G )
frgrncvvdeq.e	|- E = (Edg ` G )
frgrncvvdeq.nx	|- D = ( G NeighbVtx X )
frgrncvvdeq.ny	|- N = ( G NeighbVtx Y )
frgrncvvdeq.x	|- ( ph -> X e. V )
frgrncvvdeq.y	|- ( ph -> Y e. V )
frgrncvvdeq.ne	|- ( ph -> X =/= Y )
frgrncvvdeq.xy	|- ( ph -> Y e/ D )
frgrncvvdeq.f	|- ( ph -> G e. FriendGraph )
frgrncvvdeq.a	|- A = ( x e. D |-> ( iota_ y e. N { x , y } e. E ) )

Assertion

Ref	Expression
frgrncvvdeqlem2	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> E! y e. N { x , y } e. E )

Distinct variable groups:   y, D   y, G   y, V   y, Y   ph, y   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, y)   D( x)   E( x, y)   G( x)   N( x, y)   V( x)   X( x, y)   Y( x)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrncvvdeq.f	. . . 4 |- ( ph -> G e. FriendGraph )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> G e. FriendGraph )
3		frgrncvvdeq.nx	. . . . . . 7 |- D = ( G NeighbVtx X )
4	3	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( x e. D <-> x e. ( G NeighbVtx X ) )
5		frgrusgr 27124	. . . . . . 7 |- ( G e. FriendGraph -> G e. USGraph )
6		frgrncvvdeq.v1	. . . . . . . . 9 |- V = (Vtx ` G )
7	6	nbgrisvtx 26255	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ x e. ( G NeighbVtx X ) ) -> x e. V )
8	7	ex 450	. . . . . . 7 |- ( G e. USGraph -> ( x e. ( G NeighbVtx X ) -> x e. V ) )
9	1, 5, 8	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( G NeighbVtx X ) -> x e. V ) )
10	4, 9	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. D -> x e. V ) )
11	10	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. V )
12		frgrncvvdeq.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Y e. V )
14		frgrncvvdeq.xy	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e/ D )
15		elnelne2 2908	. . . . . . 7 |- ( ( x e. D /\ Y e/ D ) -> x =/= Y )
16	15	expcom 451	. . . . . 6 |- ( Y e/ D -> ( x e. D -> x =/= Y ) )
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. D -> x =/= Y ) )
18	17	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x =/= Y )
19	11, 13, 18	3jca 1242	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x e. V /\ Y e. V /\ x =/= Y ) )
20		frgrncvvdeq.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
21	6, 20	frcond1 27130	. . 3 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( x e. V /\ Y e. V /\ x =/= Y ) -> E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ E ) )
22	2, 19, 21	sylc 65	. 2 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ E )
23		usgrumgr 26074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. USGraph -> G e. UMGraph )
24	6, 20	umgrpredgv 26035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. UMGraph /\ { x , y } e. E ) -> ( x e. V /\ y e. V ) )
25	24	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. UMGraph /\ { x , y } e. E ) -> y e. V )
26	25	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. UMGraph -> ( { x , y } e. E -> y e. V ) )
27	23, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. USGraph -> ( { x , y } e. E -> y e. V ) )
28	27	adantld 483	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. USGraph -> ( ( { y , Y } e. E /\ { x , y } e. E ) -> y e. V ) )
29	28	pm4.71rd 667	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> ( ( { y , Y } e. E /\ { x , y } e. E ) <-> ( y e. V /\ ( { y , Y } e. E /\ { x , y } e. E ) ) ) )
30		prex 4909	. . . . . . . . . . . 12 |- { x , y } e. _V
31		prex 4909	. . . . . . . . . . . 12 |- { y , Y } e. _V
32	30, 31	prss 4351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x , y } e. E /\ { y , Y } e. E ) <-> { { x , y } , { y , Y } } C_ E )
33		ancom 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { x , y } e. E /\ { y , Y } e. E ) <-> ( { y , Y } e. E /\ { x , y } e. E ) )
34	32, 33	bitr3i 266	. . . . . . . . . 10 |- ( { { x , y } , { y , Y } } C_ E <-> ( { y , Y } e. E /\ { x , y } e. E ) )
35	34	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ E ) <-> ( y e. V /\ ( { y , Y } e. E /\ { x , y } e. E ) ) )
36	29, 35	syl6rbbr 279	. . . . . . . 8 |- ( G e. USGraph -> ( ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ E ) <-> ( { y , Y } e. E /\ { x , y } e. E ) ) )
37		frgrncvvdeq.ny	. . . . . . . . . . 11 |- N = ( G NeighbVtx Y )
38	37	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. N <-> y e. ( G NeighbVtx Y ) )
39	20	nbusgreledg 26249	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. USGraph -> ( y e. ( G NeighbVtx Y ) <-> { y , Y } e. E ) )
40	38, 39	syl5rbb 273	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> ( { y , Y } e. E <-> y e. N ) )
41	40	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( G e. USGraph -> ( ( { y , Y } e. E /\ { x , y } e. E ) <-> ( y e. N /\ { x , y } e. E ) ) )
42	36, 41	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( G e. USGraph -> ( ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ E ) <-> ( y e. N /\ { x , y } e. E ) ) )
43	42	eubidv 2490	. . . . . 6 |- ( G e. USGraph -> ( E! y ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ E ) <-> E! y ( y e. N /\ { x , y } e. E ) ) )
44	43	biimpd 219	. . . . 5 |- ( G e. USGraph -> ( E! y ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ E ) -> E! y ( y e. N /\ { x , y } e. E ) ) )
45		df-reu 2919	. . . . 5 |- ( E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ E <-> E! y ( y e. V /\ { { x , y } , { y , Y } } C_ E ) )
46		df-reu 2919	. . . . 5 |- ( E! y e. N { x , y } e. E <-> E! y ( y e. N /\ { x , y } e. E ) )
47	44, 45, 46	3imtr4g 285	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> ( E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ E -> E! y e. N { x , y } e. E ) )
48	1, 5, 47	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ E -> E! y e. N { x , y } e. E ) )
49	48	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( E! y e. V { { x , y } , { y , Y } } C_ E -> E! y e. N { x , y } e. E ) )
50	22, 49	mpd 15	1 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E! y e. N { x , y } e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   E!wreu 2914   C_ wss 3574   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   UMGraph cumgr 25976   USGraph cusgr 26044   NeighbVtx cnbgr 26224   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-nbgr 26228  df-frgr 27121

This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem3  27165  frgrncvvdeqlem4  27166