Theorem fsuppmapnn0fiublem 12789

Description: Lemma for fsuppmapnn0fiub 12790 and fsuppmapnn0fiubex 12792. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	|- U = U_ f e. M ( f supp Z )
fsuppmapnn0fiub.s	|- S = sup ( U , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiublem	|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) )

Distinct variable groups:   f, M   R, f   U, f   f, V   f, Z

Allowed substitution hint:   S( f)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmapnn0fiub.u	. . . 4 |- U = U_ f e. M ( f supp Z )
2		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
3		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ f A. f e. M f finSupp Z
4		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ f U =/= (/)
5	3, 4	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ f ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) )
6	2, 5	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ f ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) )
7		suppssdm 7308	. . . . . . . 8 |- ( f supp Z ) C_ dom f
8		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> f e. ( R ^m NN0 ) )
9		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( R ^m NN0 ) -> f Fn NN0 )
10		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN0 -> dom f = NN0 )
11		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom f = NN0 -> dom f C_ NN0 )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn NN0 -> dom f C_ NN0 )
13	8, 9, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
14	13	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f C_ NN0 ) )
15	14	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f C_ NN0 ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f C_ NN0 ) )
17	16	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
18	7, 17	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ NN0 )
19	18	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ NN0 ) )
20	6, 19	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ NN0 )
21		iunss 4561	. . . . 5 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ NN0 <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ NN0 )
22	20, 21	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ NN0 )
23	1, 22	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U C_ NN0 )
24		ltso 10118	. . . . 5 |- < Or RR
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> < Or RR )
26		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> M e. Fin )
27		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( f finSupp Z -> f finSupp Z )
28	27	fsuppimpd 8282	. . . . . . . 8 |- ( f finSupp Z -> ( f supp Z ) e. Fin )
29	28	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. f e. M f finSupp Z -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
31		iunfi 8254	. . . . . 6 |- ( ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
32	26, 30, 31	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
33	1, 32	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U e. Fin )
34		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U =/= (/) )
35	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
36	35	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
37	36	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
39	38	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
40		nn0ssre 11296	. . . . . . . . 9 |- NN0 C_ RR
41	39, 40	syl6eqss 3655	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ RR )
42	7, 41	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ RR )
43	42	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ RR ) )
44	6, 43	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
45	1	sseq1i 3629	. . . . . 6 |- ( U C_ RR <-> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
46		iunss 4561	. . . . . 6 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
47	45, 46	bitri 264	. . . . 5 |- ( U C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
48	44, 47	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> U C_ RR )
49		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . 5 |- S = sup ( U , RR , < )
50		fisupcl 8375	. . . . 5 |- ( ( < Or RR /\ ( U e. Fin /\ U =/= (/) /\ U C_ RR ) ) -> sup ( U , RR , < ) e. U )
51	49, 50	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( < Or RR /\ ( U e. Fin /\ U =/= (/) /\ U C_ RR ) ) -> S e. U )
52	25, 33, 34, 48, 51	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. U )
53	23, 52	sseldd 3604	. 2 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. NN0 )
54	53	ex 450	1 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   Or wor 5034   dom cdm 5114   Fn wfn 5883  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  12790  fsuppmapnn0fiubOLD  12791  fsuppmapnn0fiubex  12792