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Theorem fsuppmapnn0fiubex 12792
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubex |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )
Distinct variable groups:   f, M, m   R, f, m   f, V, m   f, Z, m
Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11307 . . . . 5 |- 0 e. NN0
21a1i 11 . . . 4 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> 0 e. NN0 )
3 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
43sseq2d 3633 . . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
54ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( m = 0 -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
65adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ m = 0 ) -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
7 ral0 4076 . . . . . 6 |- A. f e. (/) ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 )
8 raleq 3138 . . . . . 6 |- ( (/) = M -> ( A. f e. (/) ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
97, 8mpbii 223 . . . . 5 |- ( (/) = M -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
10 0ss 3972 . . . . . . 7 |- (/) C_ ( 0 ... 0 )
11 sseq1 3626 . . . . . . 7 |- ( ( f supp Z ) = (/) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) <-> (/) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
1210, 11mpbiri 248 . . . . . 6 |- ( ( f supp Z ) = (/) -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
1312ralimi 2952 . . . . 5 |- ( A. f e. M ( f supp Z ) = (/) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
149, 13jaoi 394 . . . 4 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
152, 6, 14rspcedvd 3317 . . 3 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) )
16152a1d 26 . 2 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) ) )
17 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) )
18 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> A. f e. M f finSupp Z )
19 ioran 511 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) )
20 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( f supp Z ) = ( g supp Z ) )
2120eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( ( f supp Z ) = (/) <-> ( g supp Z ) = (/) ) )
2221cbvralv 3171 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. M ( f supp Z ) = (/) <-> A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
2322notbii 310 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) <-> -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
2423anbi2i 730 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) )
2519, 24bitri 264 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) )
26 rexnal 2995 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. g e. M -. ( g supp Z ) = (/) <-> -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
27 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g supp Z ) =/= (/) <-> -. ( g supp Z ) = (/) )
2827bicomi 214 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( g supp Z ) = (/) <-> ( g supp Z ) =/= (/) )
2928rexbii 3041 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. g e. M -. ( g supp Z ) = (/) <-> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
3026, 29sylbb1 227 . . . . . . . . . 10 |- ( -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
3225, 31sylbi 207 . . . . . . . 8 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
3332ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
34 iunn0 4580 . . . . . . 7 |- ( E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
3533, 34sylib 208 . . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
3618, 35jca 554 . . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) )
37 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( g = f -> ( g supp Z ) = ( f supp Z ) )
3837cbviunv 4559 . . . . . 6 |- U_ g e. M ( g supp Z ) = U_ f e. M ( f supp Z )
39 eqid 2622 . . . . . 6 |- sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < )
4038, 39fsuppmapnn0fiublem 12789 . . . . 5 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) -> sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) e. NN0 ) )
4117, 36, 40sylc 65 . . . 4 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) e. NN0 )
42 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ f (/) = M
43 nfra1 2941 . . . . . . . . . 10 |- F/ f A. f e. M ( f supp Z ) = (/)
4442, 43nfor 1834 . . . . . . . . 9 |- F/ f ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
4544nfn 1784 . . . . . . . 8 |- F/ f -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
46 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
4745, 46nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ f ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) )
48 nfra1 2941 . . . . . . 7 |- F/ f A. f e. M f finSupp Z
4947, 48nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ f ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z )
50 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ f m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < )
5149, 50nfan 1828 . . . . 5 |- F/ f ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) )
52 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) )
5352sseq2d 3633 . . . . . 6 |- ( m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
5453adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
5551, 54ralbid 2983 . . . 4 |- ( ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
56 rexnal 2995 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f e. M -. ( f supp Z ) = (/) <-> -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
57 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f supp Z ) =/= (/) <-> -. ( f supp Z ) = (/) )
5857bicomi 214 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( f supp Z ) = (/) <-> ( f supp Z ) =/= (/) )
5958rexbii 3041 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f e. M -. ( f supp Z ) = (/) <-> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
6056, 59sylbb1 227 . . . . . . . . . 10 |- ( -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
6160adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
6219, 61sylbi 207 . . . . . . . 8 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
6362ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
64 iunn0 4580 . . . . . . . 8 |- ( E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
6520cbviunv 4559 . . . . . . . . 9 |- U_ f e. M ( f supp Z ) = U_ g e. M ( g supp Z )
6665neeq1i 2858 . . . . . . . 8 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
6764, 66bitri 264 . . . . . . 7 |- ( E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
6863, 67sylib 208 . . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
6918, 68jca 554 . . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) )
7038, 39fsuppmapnn0fiub 12790 . . . . 5 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
7117, 69, 70sylc 65 . . . 4 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) )
7241, 55, 71rspcedvd 3317 . . 3 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) )
7372exp31 630 . 2 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) ) )
7416, 73pm2.61i 176 1 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   NN0cn0 11292   ...cfz 12326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  12793
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