Theorem gboge9 41652

Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 9. Because of 9gbo 41662, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gboge9	|- ( Z e. GoldbachOdd -> 9 <_ Z )

Proof of Theorem gboge9

Dummy variables p q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbo 41641	. 2 |- ( Z e. GoldbachOdd <-> ( Z e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) /\ Z = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
2		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. Prime /\ q e. Prime /\ r e. Prime ) <-> ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ r e. Prime ) )
3		an6 1408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime /\ r e. Prime ) /\ ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) ) <-> ( ( p e. Prime /\ p e. Odd ) /\ ( q e. Prime /\ q e. Odd ) /\ ( r e. Prime /\ r e. Odd ) ) )
4		oddprmuzge3 41625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ p e. Odd ) -> p e. ( ZZ>= ` 3 ) )
5		oddprmuzge3 41625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. Prime /\ q e. Odd ) -> q e. ( ZZ>= ` 3 ) )
6		oddprmuzge3 41625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. Prime /\ r e. Odd ) -> r e. ( ZZ>= ` 3 ) )
7		6p3e9 11170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 + 3 ) = 9
8		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) -> p e. ZZ )
9		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q e. ( ZZ>= ` 3 ) -> q e. ZZ )
10		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( p + q ) e. ZZ )
11	8, 9, 10	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( p + q ) e. ZZ )
12	11	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( p + q ) e. RR )
13		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r e. ( ZZ>= ` 3 ) -> r e. RR )
14	12, 13	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) /\ r e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) )
15	14	3impa 1259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) )
16		6re 11101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 6 e. RR
17		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. RR
18	16, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 6 e. RR /\ 3 e. RR )
19	15, 18	jctil 560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( 6 e. RR /\ 3 e. RR ) /\ ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) ) )
20		3p3e6 11161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 + 3 ) = 6
21		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) -> p e. RR )
22		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q e. ( ZZ>= ` 3 ) -> q e. RR )
23	21, 22	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( p e. RR /\ q e. RR ) )
24	17, 17	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 3 e. RR /\ 3 e. RR )
25	23, 24	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( 3 e. RR /\ 3 e. RR ) /\ ( p e. RR /\ q e. RR ) ) )
26		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ p )
27		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ q )
28	26, 27	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 3 <_ p /\ 3 <_ q ) )
29		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 3 e. RR /\ 3 e. RR ) /\ ( p e. RR /\ q e. RR ) ) -> ( ( 3 <_ p /\ 3 <_ q ) -> ( 3 + 3 ) <_ ( p + q ) ) )
30	25, 28, 29	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 3 + 3 ) <_ ( p + q ) )
31	20, 30	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 6 <_ ( p + q ) )
32	31	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 6 <_ ( p + q ) )
33		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ r )
34	33	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 3 <_ r )
35	32, 34	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 6 <_ ( p + q ) /\ 3 <_ r ) )
36		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 6 e. RR /\ 3 e. RR ) /\ ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) ) -> ( ( 6 <_ ( p + q ) /\ 3 <_ r ) -> ( 6 + 3 ) <_ ( ( p + q ) + r ) ) )
37	19, 35, 36	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 6 + 3 ) <_ ( ( p + q ) + r ) )
38	7, 37	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ q e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ r e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 9 <_ ( ( p + q ) + r ) )
39	4, 5, 6, 38	syl3an 1368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. Prime /\ p e. Odd ) /\ ( q e. Prime /\ q e. Odd ) /\ ( r e. Prime /\ r e. Odd ) ) -> 9 <_ ( ( p + q ) + r ) )
40	3, 39	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime /\ r e. Prime ) /\ ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) ) -> 9 <_ ( ( p + q ) + r ) )
41	2, 40	sylanbr 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ r e. Prime ) /\ ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) ) -> 9 <_ ( ( p + q ) + r ) )
42		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( Z = ( ( p + q ) + r ) -> ( 9 <_ Z <-> 9 <_ ( ( p + q ) + r ) ) )
43	41, 42	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ r e. Prime ) /\ ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) ) -> ( Z = ( ( p + q ) + r ) -> 9 <_ Z ) )
44	43	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ r e. Prime ) -> ( ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) /\ Z = ( ( p + q ) + r ) ) -> 9 <_ Z ) )
45	44	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> ( E. r e. Prime ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) /\ Z = ( ( p + q ) + r ) ) -> 9 <_ Z ) )
46	45	a1i 11	. . . 4 |- ( Z e. Odd -> ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> ( E. r e. Prime ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) /\ Z = ( ( p + q ) + r ) ) -> 9 <_ Z ) ) )
47	46	rexlimdvv 3037	. . 3 |- ( Z e. Odd -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) /\ Z = ( ( p + q ) + r ) ) -> 9 <_ Z ) )
48	47	imp 445	. 2 |- ( ( Z e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ r e. Odd ) /\ Z = ( ( p + q ) + r ) ) ) -> 9 <_ Z )
49	1, 48	sylbi 207	1 |- ( Z e. GoldbachOdd -> 9 <_ Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075   3c3 11071   6c6 11074   9c9 11077   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   Primecprime 15385   Odd codd 41538   GoldbachOdd cgbo 41635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbo 41638

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