Theorem gbowge7 41651

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 41660, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowge7	|- ( Z e. GoldbachOddW -> 7 <_ Z )

Proof of Theorem gbowge7

Dummy variables p q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gbowgt5 41650	. 2 |- ( Z e. GoldbachOddW -> 5 < Z )
2		gbowpos 41647	. . . 4 |- ( Z e. GoldbachOddW -> Z e. NN )
3		5nn 11188	. . . . . . 7 |- 5 e. NN
4	3	nnzi 11401	. . . . . 6 |- 5 e. ZZ
5		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( Z e. NN -> Z e. ZZ )
6		zltp1le 11427	. . . . . 6 |- ( ( 5 e. ZZ /\ Z e. ZZ ) -> ( 5 < Z <-> ( 5 + 1 ) <_ Z ) )
7	4, 5, 6	sylancr 695	. . . . 5 |- ( Z e. NN -> ( 5 < Z <-> ( 5 + 1 ) <_ Z ) )
8	7	biimpd 219	. . . 4 |- ( Z e. NN -> ( 5 < Z -> ( 5 + 1 ) <_ Z ) )
9	2, 8	syl 17	. . 3 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( 5 < Z -> ( 5 + 1 ) <_ Z ) )
10		5p1e6 11155	. . . . . 6 |- ( 5 + 1 ) = 6
11	10	breq1i 4660	. . . . 5 |- ( ( 5 + 1 ) <_ Z <-> 6 <_ Z )
12		6re 11101	. . . . . 6 |- 6 e. RR
13	2	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( Z e. GoldbachOddW -> Z e. RR )
14		leloe 10124	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. RR /\ Z e. RR ) -> ( 6 <_ Z <-> ( 6 < Z \/ 6 = Z ) ) )
15	12, 13, 14	sylancr 695	. . . . 5 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( 6 <_ Z <-> ( 6 < Z \/ 6 = Z ) ) )
16	11, 15	syl5bb 272	. . . 4 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( ( 5 + 1 ) <_ Z <-> ( 6 < Z \/ 6 = Z ) ) )
17		6nn 11189	. . . . . . . 8 |- 6 e. NN
18	17	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- 6 e. ZZ
19	2	nnzd 11481	. . . . . . 7 |- ( Z e. GoldbachOddW -> Z e. ZZ )
20		zltp1le 11427	. . . . . . . 8 |- ( ( 6 e. ZZ /\ Z e. ZZ ) -> ( 6 < Z <-> ( 6 + 1 ) <_ Z ) )
21	20	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. ZZ /\ Z e. ZZ ) -> ( 6 < Z -> ( 6 + 1 ) <_ Z ) )
22	18, 19, 21	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( 6 < Z -> ( 6 + 1 ) <_ Z ) )
23		6p1e7 11156	. . . . . . 7 |- ( 6 + 1 ) = 7
24	23	breq1i 4660	. . . . . 6 |- ( ( 6 + 1 ) <_ Z <-> 7 <_ Z )
25	22, 24	syl6ib 241	. . . . 5 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( 6 < Z -> 7 <_ Z ) )
26		isgbow 41640	. . . . . 6 |- ( Z e. GoldbachOddW <-> ( Z e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) ) )
27		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( 6 = Z -> ( 6 e. Odd <-> Z e. Odd ) )
28		6even 41620	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. Even
29		evennodd 41556	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 e. Even -> -. 6 e. Odd )
30		pm2.21 120	. . . . . . . . . 10 |- ( -. 6 e. Odd -> ( 6 e. Odd -> 7 <_ Z ) )
31	28, 29, 30	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( 6 e. Odd -> 7 <_ Z )
32	27, 31	syl6bir 244	. . . . . . . 8 |- ( 6 = Z -> ( Z e. Odd -> 7 <_ Z ) )
33	32	com12 32	. . . . . . 7 |- ( Z e. Odd -> ( 6 = Z -> 7 <_ Z ) )
34	33	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( Z e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) ) -> ( 6 = Z -> 7 <_ Z ) )
35	26, 34	sylbi 207	. . . . 5 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( 6 = Z -> 7 <_ Z ) )
36	25, 35	jaod 395	. . . 4 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( ( 6 < Z \/ 6 = Z ) -> 7 <_ Z ) )
37	16, 36	sylbid 230	. . 3 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( ( 5 + 1 ) <_ Z -> 7 <_ Z ) )
38	9, 37	syld 47	. 2 |- ( Z e. GoldbachOddW -> ( 5 < Z -> 7 <_ Z ) )
39	1, 38	mpd 15	1 |- ( Z e. GoldbachOddW -> 7 <_ Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   ZZcz 11377   Primecprime 15385   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachOddW cgbow 41634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbow 41637

This theorem is referenced by: (None)