Theorem gsummptf1o 18362

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptf1o.x	|- F/_ x H
gsummptf1o.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptf1o.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummptf1o.i	|- ( x = E -> C = H )
gsummptf1o.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsummptf1o.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsummptf1o.d	|- ( ph -> F C_ B )
gsummptf1o.f	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. F )
gsummptf1o.e	|- ( ( ph /\ y e. D ) -> E e. A )
gsummptf1o.h	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E! y e. D x = E )

Assertion

Ref	Expression
gsummptf1o	|- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) = ( G gsumg ( y e. D |-> H ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B   y, C   x, D, y   x, E   ph, x, y

Allowed substitution hints:   B( y)   C( x)   E( y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsummptf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptf1o.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsummptf1o.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsummptf1o.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsummptf1o.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
5		gsummptf1o.d	. . . . . 6 |- ( ph -> F C_ B )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F C_ B )
7		gsummptf1o.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. F )
8	6, 7	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
10	8, 9	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A --> B )
11		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) e. _V
12	2, 11	eqeltri 2697	. . . . 5 |- .0. e. _V
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. _V )
14	9, 4, 8, 13	fsuppmptdm 8286	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) finSupp .0. )
15		gsummptf1o.e	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> E e. A )
16	15	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. D E e. A )
17		gsummptf1o.h	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E! y e. D x = E )
18	17	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A E! y e. D x = E )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. D |-> E ) = ( y e. D |-> E )
20	19	f1ompt 6382	. . . 4 |- ( ( y e. D |-> E ) : D -1-1-onto-> A <-> ( A. y e. D E e. A /\ A. x e. A E! y e. D x = E ) )
21	16, 18, 20	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> ( y e. D |-> E ) : D -1-1-onto-> A )
22	1, 2, 3, 4, 10, 14, 21	gsumf1o 18317	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) = ( G gsumg ( ( x e. A |-> C ) o. ( y e. D |-> E ) ) ) )
23		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. D |-> E ) = ( y e. D |-> E ) )
24		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C ) )
25	16, 23, 24	fmptcos 6398	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) o. ( y e. D |-> E ) ) = ( y e. D |-> [_ E / x ]_ C ) )
26		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x ( ph /\ y e. D )
27		gsummptf1o.x	. . . . . . 7 |- F/_ x H
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> F/_ x H )
29		gsummptf1o.i	. . . . . . 7 |- ( x = E -> C = H )
30	29	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ x = E ) -> C = H )
31	26, 28, 15, 30	csbiedf 3554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> [_ E / x ]_ C = H )
32	31	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. D |-> [_ E / x ]_ C ) = ( y e. D |-> H ) )
33	25, 32	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) o. ( y e. D |-> E ) ) = ( y e. D |-> H ) )
34	33	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. A |-> C ) o. ( y e. D |-> E ) ) ) = ( G gsumg ( y e. D |-> H ) ) )
35	22, 34	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) = ( G gsumg ( y e. D |-> H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  gsummpt2co  29780  mdetpmtr1  29889