Theorem gsummptfsadd 18324

Description: The sum of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 9-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfsadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfsadd.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummptfsadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfsadd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsummptfsadd.a	|- ( ph -> A e. V )
gsummptfsadd.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
gsummptfsadd.d	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
gsummptfsadd.f	|- ( ph -> F = ( x e. A |-> C ) )
gsummptfsadd.h	|- ( ph -> H = ( x e. A |-> D ) )
gsummptfsadd.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )
gsummptfsadd.v	|- ( ph -> H finSupp .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfsadd	|- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x   x, .+

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)   F( x)   G( x)   H( x)   V( x)   .0. ( x)

Proof of Theorem gsummptfsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfsadd.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
2		gsummptfsadd.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
3		gsummptfsadd.d	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
4		gsummptfsadd.f	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> C ) )
5		gsummptfsadd.h	. . . . 5 |- ( ph -> H = ( x e. A |-> D ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	offval2 6914	. . . 4 |- ( ph -> ( F oF .+ H ) = ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) )
7	6	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) = ( F oF .+ H ) )
8	7	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) )
9		gsummptfsadd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
10		gsummptfsadd.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
11		gsummptfsadd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
12		gsummptfsadd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> C )
14	2, 13	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) : A --> B )
15	4	feq1d 6030	. . . 4 |- ( ph -> ( F : A --> B <-> ( x e. A |-> C ) : A --> B ) )
16	14, 15	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
17		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. A |-> D ) = ( x e. A |-> D )
18	3, 17	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> D ) : A --> B )
19	5	feq1d 6030	. . . 4 |- ( ph -> ( H : A --> B <-> ( x e. A |-> D ) : A --> B ) )
20	18, 19	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> H : A --> B )
21		gsummptfsadd.w	. . 3 |- ( ph -> F finSupp .0. )
22		gsummptfsadd.v	. . 3 |- ( ph -> H finSupp .0. )
23	9, 10, 11, 12, 1, 16, 20, 21, 22	gsumadd 18323	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
24	8, 23	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  18325  frlmphl  20120  pm2mpghm  20621  lincsum  42218