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Theorem lincsum 42218
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincsum.p |- .+ = ( +g ` M )
lincsum.x |- X = ( A ( linC ` M ) V )
lincsum.y |- Y = ( B ( linC ` M ) V )
lincsum.s |- S = (Scalar ` M )
lincsum.r |- R = ( Base ` S )
lincsum.b |- .+b = ( +g ` S )
Assertion
Ref Expression
lincsum |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) )
Proof of Theorem lincsum
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
2 eqid 2622 . . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
3 lincsum.p . . 3 |- .+ = ( +g ` M )
4 lmodcmn 18911 . . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
54adantr 481 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. CMnd )
653ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. CMnd )
7 simpr 477 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
873ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
9 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. LMod )
1093ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. LMod )
1110adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
12 elmapi 7879 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
13 ffvelrn 6357 . . . . . . . . 9 |- ( ( A : V --> R /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
1413ex 450 . . . . . . . 8 |- ( A : V --> R -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
1615adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
17163ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
1817imp 445 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
19 elelpwi 4171 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> x e. ( Base ` M ) )
2019expcom 451 . . . . . . 7 |- ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
2120adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
22213ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
2322imp 445 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
24 lincsum.s . . . . 5 |- S = (Scalar ` M )
25 eqid 2622 . . . . 5 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
26 lincsum.r . . . . 5 |- R = ( Base ` S )
271, 24, 25, 26lmodvscl 18880 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
2811, 18, 23, 27syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
29 elmapi 7879 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B : V --> R )
30 ffvelrn 6357 . . . . . . . . 9 |- ( ( B : V --> R /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
3130ex 450 . . . . . . . 8 |- ( B : V --> R -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
3229, 31syl 17 . . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
3332adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
34333ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
3534imp 445 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
361, 24, 25, 26lmodvscl 18880 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
3711, 35, 23, 36syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
38 eqidd 2623 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
39 eqidd 2623 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
40 id 22 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
41 simpl 473 . . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> A e. ( R ^m V ) )
42 simpl 473 . . . 4 |- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> A finSupp ( 0g ` S ) )
4324, 26scmfsupp 42159 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ A e. ( R ^m V ) /\ A finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
4440, 41, 42, 43syl3an 1368 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
45 simpr 477 . . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> B e. ( R ^m V ) )
46 simpr 477 . . . 4 |- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> B finSupp ( 0g ` S ) )
4724, 26scmfsupp 42159 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ B e. ( R ^m V ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
4840, 45, 46, 47syl3an 1368 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
491, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48gsummptfsadd 18324 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
507adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
51 elmapfn 7880 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A Fn V )
5251ad2antrl 764 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A Fn V )
53 elmapfn 7880 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B Fn V )
5453ad2antll 765 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B Fn V )
5550, 52, 54offvalfv 42121 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) )
56553adant3 1081 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) )
5724lmodfgrp 18872 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> S e. Grp )
58 grpmnd 17429 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Grp -> S e. Mnd )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> S e. Mnd )
6059ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> S e. Mnd )
61 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A : V --> R /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R )
6261ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A : V --> R -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
6312, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
6463ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
6564imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R )
6624fveq2i 6194 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6726, 66eqtri 2644 . . . . . . . . . 10 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6865, 67syl6eleq 2711 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
69 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. R )
7069, 67syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
7170ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B : V --> R -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
7229, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
7372ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
7473imp 445 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
7524eqcomi 2631 . . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` M ) = S
7675fveq2i 6194 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` S )
77 lincsum.b . . . . . . . . . 10 |- .+b = ( +g ` S )
7876, 77mndcl 17301 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ ( A ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
7960, 68, 74, 78syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
80 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) )
8179, 80fmptd 6385 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
82 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
83 elmapg 7870 . . . . . . . 8 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
8482, 50, 83sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
8581, 84mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
86853adant3 1081 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
8756, 86eqeltrd 2701 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
88 lincval 42198 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
8910, 87, 8, 88syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
9051, 53anim12i 590 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
9190adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
9291adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
9350anim1i 592 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) )
94 fnfvof 6911 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Fn V /\ B Fn V ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) )
9592, 93, 94syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) )
9677a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> .+b = ( +g ` S ) )
9796oveqd 6667 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) )
9895, 97eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) )
9998oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) )
1009adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod )
101100adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
10215ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
103102imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
10432ad2antll 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
105104imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
10621adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
107106imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
108 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
10924fveq2i 6194 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` (Scalar ` M ) )
1101, 3, 108, 25, 67, 109lmodvsdir 18887 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( A ` x ) e. R /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
111101, 103, 105, 107, 110syl13anc 1328 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
11299, 111eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
113112mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
114113oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
1151143adant3 1081 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
11689, 115eqtrd 2656 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
117 lincsum.x . . . 4 |- X = ( A ( linC ` M ) V )
118 lincsum.y . . . 4 |- Y = ( B ( linC ` M ) V )
119117, 118oveq12i 6662 . . 3 |- ( X .+ Y ) = ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) )
12067oveq1i 6660 . . . . . . . . 9 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
121120eleq2i 2693 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) <-> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
122121biimpi 206 . . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
123122ad2antrl 764 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
124 lincval 42198 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
125100, 123, 50, 124syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
126120eleq2i 2693 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) <-> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
127126biimpi 206 . . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
128127ad2antll 765 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
129 lincval 42198 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
130100, 128, 50, 129syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
131125, 130oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
1321313adant3 1081 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
133119, 132syl5eq 2668 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
13449, 116, 1333eqtr4rd 2667 1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  CMndccmn 18193   LModclmod 18863   linC clinc 42193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195
This theorem is referenced by:  lincsumcl  42220
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