Theorem pm2mpghm 20621

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	|- P = (Poly1 ` R )
pm2mpfo.c	|- C = ( N Mat P )
pm2mpfo.b	|- B = ( Base ` C )
pm2mpfo.m	|- .* = ( .s ` Q )
pm2mpfo.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
pm2mpfo.x	|- X = (var1 ` A )
pm2mpfo.a	|- A = ( N Mat R )
pm2mpfo.q	|- Q = (Poly1 ` A )
pm2mpfo.l	|- L = ( Base ` Q )
pm2mpfo.t	|- T = ( N pMatToMatPoly R )

Assertion

Ref	Expression
pm2mpghm	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T e. ( C GrpHom Q ) )

Proof of Theorem pm2mpghm

Dummy variables k a b i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.b	. 2 |- B = ( Base ` C )
2		pm2mpfo.l	. 2 |- L = ( Base ` Q )
3		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
4		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
5		pm2mpfo.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
6		pm2mpfo.c	. . . 4 |- C = ( N Mat P )
7	5, 6	pmatring 20498	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
8		ringgrp 18552	. . 3 |- ( C e. Ring -> C e. Grp )
9	7, 8	syl 17	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Grp )
10		pm2mpfo.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
11	10	matring 20249	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
12		pm2mpfo.q	. . . . 5 |- Q = (Poly1 ` A )
13	12	ply1ring 19618	. . . 4 |- ( A e. Ring -> Q e. Ring )
14	11, 13	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Ring )
15		ringgrp 18552	. . 3 |- ( Q e. Ring -> Q e. Grp )
16	14, 15	syl 17	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. Grp )
17		pm2mpfo.m	. . 3 |- .* = ( .s ` Q )
18		pm2mpfo.e	. . 3 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
19		pm2mpfo.x	. . 3 |- X = (var1 ` A )
20		pm2mpfo.t	. . 3 |- T = ( N pMatToMatPoly R )
21	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2	pm2mpf 20603	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B --> L )
22		ringmnd 18556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. Ring -> C e. Mnd )
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Mnd )
24	23	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( C e. Mnd /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
25		3anass 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Mnd /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( C e. Mnd /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) )
26	24, 25	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( C e. Mnd /\ a e. B /\ b e. B ) )
27	1, 3	mndcl 17301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. Mnd /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` C ) b ) e. B )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` C ) b ) e. B )
29	6, 1	decpmatval 20570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a ( +g ` C ) b ) e. B /\ k e. NN0 ) -> ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) ) ` k ) ) )
30	28, 29	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) ) ` k ) ) )
31		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> N e. Fin )
32		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) e. _V )
33		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) e. _V )
34		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) )
35		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) )
36	31, 31, 32, 33, 34, 35	offval22 7253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) oF ( +g ` R ) ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
39		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> R e. Ring )
40		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ a e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ a e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
42	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. B <-> a e. ( Base ` C ) )
43	42	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. B -> a e. ( Base ` C ) )
44	43	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ a e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> a e. ( Base ` C ) )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
46	6, 45	matecl 20231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. N /\ j e. N /\ a e. ( Base ` C ) ) -> ( i a j ) e. ( Base ` P ) )
47	40, 41, 44, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ a e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i a j ) e. ( Base ` P ) )
48	47	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ a e. B ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> ( i a j ) e. ( Base ` P ) ) )
49	48	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> ( i a j ) e. ( Base ` P ) ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> ( i a j ) e. ( Base ` P ) ) )
51	50	3impib 1262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i a j ) e. ( Base ` P ) )
52		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
53	52	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> k e. NN0 )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (coe1 ` ( i a j ) ) = (coe1 ` ( i a j ) )
55	54, 45, 5, 37	coe1fvalcl 19582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i a j ) e. ( Base ` P ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) )
56	51, 53, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) )
57	10, 37, 38, 31, 39, 56	matbas2d 20229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) e. ( Base ` A ) )
58		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ b e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
59		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ b e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
60	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b e. B <-> b e. ( Base ` C ) )
61	60	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b e. B -> b e. ( Base ` C ) )
62	61	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ b e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> b e. ( Base ` C ) )
63	6, 45	matecl 20231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. N /\ j e. N /\ b e. ( Base ` C ) ) -> ( i b j ) e. ( Base ` P ) )
64	58, 59, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ b e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i b j ) e. ( Base ` P ) )
65	64	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ b e. B ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> ( i b j ) e. ( Base ` P ) ) )
66	65	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> ( i b j ) e. ( Base ` P ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> ( i b j ) e. ( Base ` P ) ) )
68	67	3impib 1262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i b j ) e. ( Base ` P ) )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (coe1 ` ( i b j ) ) = (coe1 ` ( i b j ) )
70	69, 45, 5, 37	coe1fvalcl 19582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i b j ) e. ( Base ` P ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) )
71	68, 53, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) e. ( Base ` R ) )
72	10, 37, 38, 31, 39, 71	matbas2d 20229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) e. ( Base ` A ) )
73		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` A ) = ( +g ` A )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
75	10, 38, 73, 74	matplusg2 20233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) e. ( Base ` A ) /\ ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) ( +g ` A ) ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) oF ( +g ` R ) ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) )
76	57, 72, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) ( +g ` A ) ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) oF ( +g ` R ) ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) )
77		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( a e. B /\ b e. B ) )
78	77	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( a e. B /\ b e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) )
79	78	3impb 1260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( a e. B /\ b e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) )
80		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
81	6, 1, 3, 80	matplusgcell 20239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. B /\ b e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) = ( ( i a j ) ( +g ` P ) ( i b j ) ) )
82	79, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) = ( ( i a j ) ( +g ` P ) ( i b j ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> (coe1 ` ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) ) = (coe1 ` ( ( i a j ) ( +g ` P ) ( i b j ) ) ) )
84	83	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) ) ` k ) = ( (coe1 ` ( ( i a j ) ( +g ` P ) ( i b j ) ) ) ` k ) )
85	39	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
86	5, 45, 80, 74	coe1addfv 19635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( i a j ) e. ( Base ` P ) /\ ( i b j ) e. ( Base ` P ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( ( i a j ) ( +g ` P ) ( i b j ) ) ) ` k ) = ( ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) )
87	85, 51, 68, 53, 86	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( ( i a j ) ( +g ` P ) ( i b j ) ) ) ` k ) = ( ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) )
88	84, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) ) ` k ) = ( ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) )
89	88	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) ) ` k ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) )
90	36, 76, 89	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( a ( +g ` C ) b ) j ) ) ` k ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) ( +g ` A ) ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) )
91	12	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Ring -> A = (Scalar ` Q ) )
92	11, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A = (Scalar ` Q ) )
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A = (Scalar ` Q ) )
94	93	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( +g ` A ) = ( +g ` (Scalar ` Q ) ) )
95		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> a e. B )
96	6, 1	decpmatval 20570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. B /\ k e. NN0 ) -> ( a decompPMat k ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) )
97	95, 96	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( a decompPMat k ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) )
98	97	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) = ( a decompPMat k ) )
99		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> b e. B )
100	6, 1	decpmatval 20570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. B /\ k e. NN0 ) -> ( b decompPMat k ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) )
101	99, 100	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( b decompPMat k ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) )
102	101	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) = ( b decompPMat k ) )
103	94, 98, 102	oveq123d 6671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i a j ) ) ` k ) ) ( +g ` A ) ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i b j ) ) ` k ) ) ) = ( ( a decompPMat k ) ( +g ` (Scalar ` Q ) ) ( b decompPMat k ) ) )
104	30, 90, 103	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) = ( ( a decompPMat k ) ( +g ` (Scalar ` Q ) ) ( b decompPMat k ) ) )
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = ( ( ( a decompPMat k ) ( +g ` (Scalar ` Q ) ) ( b decompPMat k ) ) .* ( k .^ X ) ) )
106	12	ply1lmod 19622	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Ring -> Q e. LMod )
107	11, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. LMod )
108	107	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> Q e. LMod )
109		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> a e. B )
110	109	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> a e. B )
111	5, 6, 1, 10, 38	decpmatcl 20572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ a e. B /\ k e. NN0 ) -> ( a decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
112	39, 110, 52, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( a decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
113	92	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (Scalar ` Q ) = A )
114	113	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> (Scalar ` Q ) = A )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( Base ` (Scalar ` Q ) ) = ( Base ` A ) )
116	112, 115	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( a decompPMat k ) e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
117		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> b e. B )
118	117	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> b e. B )
119	5, 6, 1, 10, 38	decpmatcl 20572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ b e. B /\ k e. NN0 ) -> ( b decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
120	39, 118, 52, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( b decompPMat k ) e. ( Base ` A ) )
121	120, 115	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( b decompPMat k ) e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) )
122		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` Q ) = (mulGrp ` Q )
123	122	ringmgp 18553	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q e. Ring -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
124	14, 123	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
125	124	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> (mulGrp ` Q ) e. Mnd )
126	19, 12, 2	vr1cl 19587	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Ring -> X e. L )
127	11, 126	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> X e. L )
128	127	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> X e. L )
129	122, 2	mgpbas 18495	. . . . . . . . . 10 |- L = ( Base ` (mulGrp ` Q ) )
130	129, 18	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . 9 |- ( ( (mulGrp ` Q ) e. Mnd /\ k e. NN0 /\ X e. L ) -> ( k .^ X ) e. L )
131	125, 52, 128, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( k .^ X ) e. L )
132		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` Q ) = (Scalar ` Q )
133		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (Scalar ` Q ) ) = ( Base ` (Scalar ` Q ) )
134		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` (Scalar ` Q ) ) = ( +g ` (Scalar ` Q ) )
135	2, 4, 132, 17, 133, 134	lmodvsdir 18887	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. LMod /\ ( ( a decompPMat k ) e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) /\ ( b decompPMat k ) e. ( Base ` (Scalar ` Q ) ) /\ ( k .^ X ) e. L ) ) -> ( ( ( a decompPMat k ) ( +g ` (Scalar ` Q ) ) ( b decompPMat k ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ( +g ` Q ) ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) )
136	108, 116, 121, 131, 135	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( a decompPMat k ) ( +g ` (Scalar ` Q ) ) ( b decompPMat k ) ) .* ( k .^ X ) ) = ( ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ( +g ` Q ) ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) )
137	105, 136	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) = ( ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ( +g ` Q ) ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) )
138	137	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ( +g ` Q ) ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
139	138	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ( +g ` Q ) ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) )
140		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` Q ) = ( 0g ` Q )
141		ringcmn 18581	. . . . . . 7 |- ( Q e. Ring -> Q e. CMnd )
142	14, 141	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. CMnd )
143	142	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> Q e. CMnd )
144		nn0ex 11298	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
145	144	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> NN0 e. _V )
146	109	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ a e. B ) )
147		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ a e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ a e. B ) )
148	146, 147	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ a e. B ) )
149	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2	pm2mpghmlem1 20618	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ a e. B ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) e. L )
150	148, 149	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) e. L )
151	117	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ b e. B ) )
152		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ b e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ b e. B ) )
153	151, 152	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ b e. B ) )
154	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2	pm2mpghmlem1 20618	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ b e. B ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) e. L )
155	153, 154	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) e. L )
156		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) )
157		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) )
158	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12	pm2mpghmlem2 20617	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ a e. B ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) finSupp ( 0g ` Q ) )
159	148, 158	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) finSupp ( 0g ` Q ) )
160	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12	pm2mpghmlem2 20617	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ b e. B ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) finSupp ( 0g ` Q ) )
161	153, 160	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) finSupp ( 0g ` Q ) )
162	2, 140, 4, 143, 145, 150, 155, 156, 157, 159, 161	gsummptfsadd 18324	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ( +g ` Q ) ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) = ( ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ( +g ` Q ) ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) )
163	139, 162	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) = ( ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ( +g ` Q ) ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) )
164		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> N e. Fin )
165		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> R e. Ring )
166	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 20601	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( a ( +g ` C ) b ) e. B ) -> ( T ` ( a ( +g ` C ) b ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
167	164, 165, 28, 166	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( T ` ( a ( +g ` C ) b ) ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( ( a ( +g ` C ) b ) decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
168	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 20601	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ a e. B ) -> ( T ` a ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
169	164, 165, 95, 168	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( T ` a ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
170	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 20601	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ b e. B ) -> ( T ` b ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
171	164, 165, 99, 170	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( T ` b ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
172	169, 171	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( T ` a ) ( +g ` Q ) ( T ` b ) ) = ( ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( a decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ( +g ` Q ) ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( b decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) )
173	163, 167, 172	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( T ` ( a ( +g ` C ) b ) ) = ( ( T ` a ) ( +g ` Q ) ( T ` b ) ) )
174	1, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 173	isghmd 17669	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T e. ( C GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   Mat cmat 20213   decompPMat cdecpmat 20567   pMatToMatPoly cpm2mp 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-decpmat 20568  df-pm2mp 20598

This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  20622  pm2mprhm  20626  pm2mp  20630