Theorem knoppndvlem15 32517

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 6-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem15.t	|- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
knoppndvlem15.f	|- F = ( y e. RR |-> ( n e. NN0 |-> ( ( C ^ n ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ n ) x. y ) ) ) ) )
knoppndvlem15.w	|- W = ( w e. RR |-> sum_ i e. NN0 ( ( F ` w ) ` i ) )
knoppndvlem15.a	|- A = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M )
knoppndvlem15.b	|- B = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) )
knoppndvlem15.c	|- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
knoppndvlem15.j	|- ( ph -> J e. NN0 )
knoppndvlem15.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
knoppndvlem15.n	|- ( ph -> N e. NN )
knoppndvlem15.1	|- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem15	|- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( W ` B ) - ( W ` A ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, n, w, y   x, A, i, w   B, i, n, w, y   x, B   C, i, n, y   i, F, w   i, J, n, y   x, J   n, M, y   x, M   i, N, n, y   x, N   T, n, y   ph, i, n, w, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x, w)   T( x, w, i)   F( x, y, n)   J( w)   M( w, i)   N( w)   W( x, y, w, i, n)

Proof of Theorem knoppndvlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem15.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
2	1	knoppndvlem3 32505	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C e. RR /\ ( abs ` C ) < 1 ) )
3	2	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR )
4	3	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
5	4	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
6		knoppndvlem15.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. NN0 )
7	5, 6	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) ^ J ) e. RR )
8		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
10		2ne0 11113	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
12	7, 9, 11	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) e. RR )
13		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
14		knoppndvlem15.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
15	14	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. RR )
16	9, 15	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
17	16, 5	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR )
18	17, 13	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) e. RR )
19		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
20		0lt1 10550	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < 1 )
22		knoppndvlem15.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )
23	1, 14, 22	knoppndvlem12 32514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) =/= 1 /\ 1 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
24	23	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) )
25	19, 13, 18, 21, 24	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) )
26	18, 25	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
27		gt0ne0 10493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) =/= 0 )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) =/= 0 )
29	13, 18, 28	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) e. RR )
30	13, 29	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
31	12, 30	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) e. RR )
32		knoppndvlem15.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
33		knoppndvlem15.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( y e. RR |-> ( n e. NN0 |-> ( ( C ^ n ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ n ) x. y ) ) ) ) )
34		knoppndvlem15.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M )
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M ) )
36	6	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. ZZ )
37		knoppndvlem15.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
38	14, 36, 37	knoppndvlem1 32503	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M ) e. RR )
39	35, 38	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
40	32, 33, 14, 3, 39, 6	knoppcnlem3 32485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` A ) ` J ) e. RR )
41	40	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` A ) ` J ) e. CC )
42		knoppndvlem15.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) ) )
44	37	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
45	14, 36, 44	knoppndvlem1 32503	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) ) e. RR )
46	43, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
47	32, 33, 14, 3, 46, 6	knoppcnlem3 32485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` B ) ` J ) e. RR )
48	47	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` B ) ` J ) e. CC )
49	41, 48	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) e. CC )
50	49	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) e. RR )
51	32, 33, 46, 3, 14	knoppndvlem5 32507	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) e. RR )
52	51	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) e. CC )
53	32, 33, 39, 3, 14	knoppndvlem5 32507	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) e. RR )
54	53	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) e. CC )
55	52, 54	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) e. CC )
56	55	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) e. RR )
57	50, 56	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) - ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) ) e. RR )
58	49, 55	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) - ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) e. CC )
59	58	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) - ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) ) e. RR )
60	12, 29	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) e. RR /\ ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) e. RR ) )
61		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) e. RR /\ ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
63	12, 62	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) e. RR /\ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) e. RR ) )
64		resubcl 10345	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) e. RR /\ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) e. RR )
65	63, 64	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) e. RR )
66	12	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) e. CC )
67		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
68	29	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) e. CC )
69	66, 67, 68	subdid 10486	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. 1 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) )
70	66	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. 1 ) = ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. 1 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) )
72	65	leidd 10594	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) )
73	71, 72	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. 1 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) )
74	69, 73	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) )
75	12, 29	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
76	12	leidd 10594	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) <_ ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) )
77	41, 48	abssubd 14192	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` J ) - ( ( F ` A ) ` J ) ) ) )
78	32, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14	knoppndvlem10 32512	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` B ) ` J ) - ( ( F ` A ) ` J ) ) ) = ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) )
79	77, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) = ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) )
80	79	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) = ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) )
81	76, 80	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) <_ ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) )
82	32, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14, 22	knoppndvlem14 32516	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
83	12, 56, 50, 75, 81, 82	le2subd 10647	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) - ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) - ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) ) )
84	31, 65, 57, 74, 83	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) - ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) ) )
85	49, 55	abs2difd 14196	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) - ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) - ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) ) )
86	31, 57, 59, 84, 85	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) - ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) ) )
87	49, 55	abssubd 14192	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) - ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) - ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) ) )
88	86, 87	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) - ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) ) )
89		knoppndvlem15.w	. . . . . . . 8 |- W = ( w e. RR |-> sum_ i e. NN0 ( ( F ` w ) ` i ) )
90	32, 33, 89, 42, 1, 6, 44, 14	knoppndvlem6 32508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W ` B ) = sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( F ` B ) ` i ) )
91		elnn0uz 11725	. . . . . . . . 9 |- ( J e. NN0 <-> J e. ( ZZ>= ` 0 ) )
92	6, 91	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 0 ) )
93	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> N e. NN )
94	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> C e. RR )
95	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> B e. RR )
96		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 0 ... J ) -> i e. NN0 )
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> i e. NN0 )
98	32, 33, 93, 94, 95, 97	knoppcnlem3 32485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` B ) ` i ) e. RR )
99	98	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` B ) ` i ) e. CC )
100		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( i = J -> ( ( F ` B ) ` i ) = ( ( F ` B ) ` J ) )
101	92, 99, 100	fsumm1 14480	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( F ` B ) ` i ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) + ( ( F ` B ) ` J ) ) )
102	90, 101	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W ` B ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) + ( ( F ` B ) ` J ) ) )
103	32, 33, 89, 34, 1, 6, 37, 14	knoppndvlem6 32508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W ` A ) = sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( F ` A ) ` i ) )
104	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> A e. RR )
105	32, 33, 93, 94, 104, 97	knoppcnlem3 32485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` A ) ` i ) e. RR )
106	105	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` A ) ` i ) e. CC )
107		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( i = J -> ( ( F ` A ) ` i ) = ( ( F ` A ) ` J ) )
108	92, 106, 107	fsumm1 14480	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... J ) ( ( F ` A ) ` i ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) + ( ( F ` A ) ` J ) ) )
109	103, 108	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W ` A ) = ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) + ( ( F ` A ) ` J ) ) )
110	102, 109	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( W ` B ) - ( W ` A ) ) = ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) + ( ( F ` B ) ` J ) ) - ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) + ( ( F ` A ) ` J ) ) ) )
111	52, 54, 41, 48	subadd4d 10440	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) - ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) = ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) + ( ( F ` B ) ` J ) ) - ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) + ( ( F ` A ) ` J ) ) ) )
112	111	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) + ( ( F ` B ) ` J ) ) - ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) + ( ( F ` A ) ` J ) ) ) = ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) - ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) )
113	110, 112	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( W ` B ) - ( W ` A ) ) = ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) - ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) )
114	113	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( W ` B ) - ( W ` A ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) - ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) ) )
115	114	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) - ( ( ( F ` A ) ` J ) - ( ( F ` B ) ` J ) ) ) ) = ( abs ` ( ( W ` B ) - ( W ` A ) ) ) )
116	88, 115	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( W ` B ) - ( W ` A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   abscabs 13974   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  knoppndvlem17  32519