atanlogsublem - Metamath Proof Explorer

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Theorem atanlogsublem 24642

Description: Lemma for atanlogsub 24643. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
atanlogsublem	arctan $/\$

**Proof of Theorem atanlogsublem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 9994	. . . . . 6
2		ax-icn 9995	. . . . . . 7
3		simpl 473	. . . . . . . . 9 arctan $/\$ arctan
4		atandm2 24604	. . . . . . . . 9 arctan $/\$ $/\$
5	3, 4	sylib 208	. . . . . . . 8 arctan $/\$ $/\$ $/\$
6	5	simp1d 1073	. . . . . . 7 arctan $/\$
7		mulcl 10020	. . . . . . 7 $/\$
8	2, 6, 7	sylancr 695	. . . . . 6 arctan $/\$
9		addcl 10018	. . . . . 6 $/\$
10	1, 8, 9	sylancr 695	. . . . 5 arctan $/\$
11	5	simp3d 1075	. . . . 5 arctan $/\$
12	10, 11	logcld 24317	. . . 4 arctan $/\$
13		subcl 10280	. . . . . 6 $/\$
14	1, 8, 13	sylancr 695	. . . . 5 arctan $/\$
15	5	simp2d 1074	. . . . 5 arctan $/\$
16	14, 15	logcld 24317	. . . 4 arctan $/\$
17	12, 16	imsubd 13957	. . 3 arctan $/\$
18	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
19	18, 6, 18	subdid 10486	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
20		ixi 10656	. . . . . . . . . . 11
21	20	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
22		subneg 10330	. . . . . . . . . . 11 $/\$
23	8, 1, 22	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
24	21, 23	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
25		addcom 10222	. . . . . . . . . 10 $/\$
26	8, 1, 25	sylancl 694	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
27	19, 24, 26	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 arctan $/\$
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . 7 arctan $/\$
29		subcl 10280	. . . . . . . . 9 $/\$
30	6, 2, 29	sylancl 694	. . . . . . . 8 arctan $/\$
31		resub 13867	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
32	6, 2, 31	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
33		rei 13896	. . . . . . . . . . . . 13
34	33	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
35	6	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . 14 arctan $/\$
36	35	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 arctan $/\$
37	36	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
38	34, 37	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
39	32, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
40		gt0ne0 10493	. . . . . . . . . . 11 $/\$
41	35, 40	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
42	39, 41	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
44		re0 13892	. . . . . . . . . . 11
45	43, 44	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10
46	45	necon3i 2826	. . . . . . . . 9
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . 8 arctan $/\$
48		simpr 477	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
49		0re 10040	. . . . . . . . . . 11
50		ltle 10126	. . . . . . . . . . 11 $/\$
51	49, 35, 50	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
53	52, 39	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 arctan $/\$
54		logimul 24360	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	30, 47, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . 7 arctan $/\$
56	28, 55	eqtr3d 2658	. . . . . 6 arctan $/\$
57	56	fveq2d 6195	. . . . 5 arctan $/\$
58	30, 47	logcld 24317	. . . . . . 7 arctan $/\$
59		halfpire 24216	. . . . . . . . 9
60	59	recni 10052	. . . . . . . 8
61	2, 60	mulcli 10045	. . . . . . 7
62		imadd 13874	. . . . . . 7 $/\$
63	58, 61, 62	sylancl 694	. . . . . 6 arctan $/\$
64		reim 13849	. . . . . . . . 9
65	60, 64	ax-mp 5	. . . . . . . 8
66		rere 13862	. . . . . . . . 9
67	59, 66	ax-mp 5	. . . . . . . 8
68	65, 67	eqtr3i 2646	. . . . . . 7
69	68	oveq2i 6661	. . . . . 6
70	63, 69	syl6eq 2672	. . . . 5 arctan $/\$
71	57, 70	eqtrd 2656	. . . 4 arctan $/\$
72		addcl 10018	. . . . . . . . . 10 $/\$
73	6, 2, 72	sylancl 694	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
74		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
75	2, 73, 74	sylancr 695	. . . . . . . 8 arctan $/\$
76		reim 13849	. . . . . . . . . . 11
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
78		readd 13866	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
79	6, 2, 78	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
80	33	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
81	36	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
82	80, 81	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
83	79, 82	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
84	77, 83	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
85	48, 84	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 arctan $/\$
86		logneg2 24361	. . . . . . . 8 $/\$
87	75, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . 7 arctan $/\$
88	18, 6, 18	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
89	20	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
90		negsub 10329	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
91	8, 1, 90	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
92	89, 91	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
93	88, 92	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
94	93	negeqd 10275	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
95		negsubdi2 10340	. . . . . . . . . 10 $/\$
96	8, 1, 95	sylancl 694	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
97	94, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 arctan $/\$
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . 7 arctan $/\$
99	83, 41	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
100		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
101	100, 44	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
102	101	necon3i 2826	. . . . . . . . . . 11
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
104	52, 83	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
105		logimul 24360	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
106	73, 103, 104, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 arctan $/\$
108	73, 103	logcld 24317	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
109	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
110		picn 24211	. . . . . . . . . . 11
111	2, 110	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10
112	111	a1i 11	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
113	108, 109, 112	addsubassd 10412	. . . . . . . 8 arctan $/\$
114	107, 113	eqtrd 2656	. . . . . . 7 arctan $/\$
115	87, 98, 114	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 arctan $/\$
116	115	fveq2d 6195	. . . . 5 arctan $/\$
117	61, 111	subcli 10357	. . . . . . 7
118		imadd 13874	. . . . . . 7 $/\$
119	108, 117, 118	sylancl 694	. . . . . 6 arctan $/\$
120		imsub 13875	. . . . . . . . 9 $/\$
121	61, 111, 120	mp2an 708	. . . . . . . 8
122		reim 13849	. . . . . . . . . . 11
123	110, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
124		pire 24210	. . . . . . . . . . 11
125		rere 13862	. . . . . . . . . . 11
126	124, 125	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
127	123, 126	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9
128	68, 127	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
129	60	negcli 10349	. . . . . . . . 9
130	110, 60	negsubi 10359	. . . . . . . . . 10
131		pidiv2halves 24219	. . . . . . . . . . 11
132	110, 60, 60, 131	subaddrii 10370	. . . . . . . . . 10
133	130, 132	eqtri 2644	. . . . . . . . 9
134	60, 110, 129, 133	subaddrii 10370	. . . . . . . 8
135	121, 128, 134	3eqtri 2648	. . . . . . 7
136	135	oveq2i 6661	. . . . . 6
137	119, 136	syl6eq 2672	. . . . 5 arctan $/\$
138	116, 137	eqtrd 2656	. . . 4 arctan $/\$
139	71, 138	oveq12d 6668	. . 3 arctan $/\$
140	58	imcld 13935	. . . . . 6 arctan $/\$
141	140	recnd 10068	. . . . 5 arctan $/\$
142	60	a1i 11	. . . . 5 arctan $/\$
143	108	imcld 13935	. . . . . 6 arctan $/\$
144	143	recnd 10068	. . . . 5 arctan $/\$
145	129	a1i 11	. . . . 5 arctan $/\$
146	141, 142, 144, 145	addsub4d 10439	. . . 4 arctan $/\$
147	60, 60	subnegi 10360	. . . . . 6
148	147, 131	eqtri 2644	. . . . 5
149	148	oveq2i 6661	. . . 4
150	146, 149	syl6eq 2672	. . 3 arctan $/\$
151	17, 139, 150	3eqtrd 2660	. 2 arctan $/\$
152	140, 143	resubcld 10458	. . . 4 arctan $/\$
153		readdcl 10019	. . . 4 $/\$
154	152, 124, 153	sylancl 694	. . 3 arctan $/\$
155	124	renegcli 10342	. . . . . . 7
156	155	recni 10052	. . . . . 6
157	156, 110	negsubi 10359	. . . . 5
158	155	a1i 11	. . . . . . 7 arctan $/\$
159	143	renegcld 10457	. . . . . . 7 arctan $/\$
160	30, 47	logimcld 24318	. . . . . . . 8 arctan $/\$ $/\$
161	160	simpld 475	. . . . . . 7 arctan $/\$
162	73, 103	logimcld 24318	. . . . . . . . 9 arctan $/\$ $/\$
163	162	simprd 479	. . . . . . . 8 arctan $/\$
164		leneg 10531	. . . . . . . . 9 $/\$
165	143, 124, 164	sylancl 694	. . . . . . . 8 arctan $/\$
166	163, 165	mpbid 222	. . . . . . 7 arctan $/\$
167	158, 158, 140, 159, 161, 166	ltleaddd 10648	. . . . . 6 arctan $/\$
168	141, 144	negsubd 10398	. . . . . 6 arctan $/\$
169	167, 168	breqtrd 4679	. . . . 5 arctan $/\$
170	157, 169	syl5eqbrr 4689	. . . 4 arctan $/\$
171	124	a1i 11	. . . . 5 arctan $/\$
172	158, 171, 152	ltsubaddd 10623	. . . 4 arctan $/\$
173	170, 172	mpbid 222	. . 3 arctan $/\$
174		0red 10041	. . . . 5 arctan $/\$
175	6	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . 13 arctan $/\$
176		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . 13
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
178		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13
179	175, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
180	175	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
181	175	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
182	177, 175, 179, 180, 181	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
183		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
184	177, 179, 35, 48, 183	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
185	182, 184	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
186		imsub 13875	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
187	6, 2, 186	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
188		imi 13897	. . . . . . . . . . . . 13
189	188	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
190	187, 189	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
191	190, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
192		imadd 13874	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
193	6, 2, 192	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 arctan $/\$
194	188	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
195	193, 194	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 arctan $/\$
196	195, 83	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
197	185, 191, 196	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
198		tanarg 24365	. . . . . . . . . 10 $/\$
199	30, 42, 198	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
200		tanarg 24365	. . . . . . . . . 10 $/\$
201	73, 99, 200	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
202	197, 199, 201	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 arctan $/\$
203	48, 39	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
204		argregt0 24356	. . . . . . . . . 10 $/\$
205	30, 203, 204	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
206	48, 83	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 arctan $/\$
207		argregt0 24356	. . . . . . . . . 10 $/\$
208	73, 206, 207	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 arctan $/\$
209		tanord 24284	. . . . . . . . 9 $/\$
210	205, 208, 209	syl2anc 693	. . . . . . . 8 arctan $/\$
211	202, 210	mpbird 247	. . . . . . 7 arctan $/\$
212	144	addid2d 10237	. . . . . . 7 arctan $/\$
213	211, 212	breqtrrd 4681	. . . . . 6 arctan $/\$
214	140, 143, 174	ltsubaddd 10623	. . . . . 6 arctan $/\$
215	213, 214	mpbird 247	. . . . 5 arctan $/\$
216	152, 174, 171, 215	ltadd1dd 10638	. . . 4 arctan $/\$
217	110	addid2i 10224	. . . 4
218	216, 217	syl6breq 4694	. . 3 arctan $/\$
219	155	rexri 10097	. . . 4
220	124	rexri 10097	. . . 4
221		elioo2 12216	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
222	219, 220, 221	mp2an 708	. . 3 $/\$ $/\$
223	154, 173, 218, 222	syl3anbrc 1246	. 2 arctan $/\$
224	151, 223	eqeltrd 2701	1 arctan $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cdm 5114

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

cioo 12175

cre 13837

cim 13838

ctan 14796

cpi 14797

clog 24301 arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-atan 24594

This theorem is referenced by: atanlogsub 24643 atanbndlem 24652

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