Theorem logneg2 24361

Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is _i x. pi less than the original. (Compare logneg 24334.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg2	|- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( log ` -u A ) = ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) )

Proof of Theorem logneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 13851	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
2		gt0ne0 10493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` A ) e. RR /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` A ) =/= 0 )
3	1, 2	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` A ) =/= 0 )
4		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( A = 0 -> ( Im ` A ) = ( Im ` 0 ) )
5		im0 13893	. . . . . . . . 9 |- ( Im ` 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> ( Im ` A ) = 0 )
7	6	necon3i 2826	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) =/= 0 -> A =/= 0 )
8	3, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> A =/= 0 )
9		logcl 24315	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
10	8, 9	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
11		ax-icn 9995	. . . . . 6 |- _i e. CC
12		picn 24211	. . . . . 6 |- pi e. CC
13	11, 12	mulcli 10045	. . . . 5 |- ( _i x. pi ) e. CC
14		efsub 14830	. . . . 5 |- ( ( ( log ` A ) e. CC /\ ( _i x. pi ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) = ( ( exp ` ( log ` A ) ) / ( exp ` ( _i x. pi ) ) ) )
15	10, 13, 14	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( exp ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) = ( ( exp ` ( log ` A ) ) / ( exp ` ( _i x. pi ) ) ) )
16		eflog 24323	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` A ) ) = A )
17	8, 16	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( exp ` ( log ` A ) ) = A )
18		efipi 24225	. . . . . 6 |- ( exp ` ( _i x. pi ) ) = -u 1
19	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( exp ` ( _i x. pi ) ) = -u 1 )
20	17, 19	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( exp ` ( log ` A ) ) / ( exp ` ( _i x. pi ) ) ) = ( A / -u 1 ) )
21		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
22		ax-1ne0 10005	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
23		divneg2 10749	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 =/= 0 ) -> -u ( A / 1 ) = ( A / -u 1 ) )
24	21, 22, 23	mp3an23 1416	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u ( A / 1 ) = ( A / -u 1 ) )
25		div1 10716	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( A / 1 ) = A )
26	25	negeqd 10275	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> -u ( A / 1 ) = -u A )
27	24, 26	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( A / -u 1 ) = -u A )
28	27	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( A / -u 1 ) = -u A )
29	15, 20, 28	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( exp ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) = -u A )
30	29	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( log ` ( exp ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) ) = ( log ` -u A ) )
31		subcl 10280	. . . . 5 |- ( ( ( log ` A ) e. CC /\ ( _i x. pi ) e. CC ) -> ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) e. CC )
32	10, 13, 31	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) e. CC )
33		argimgt0 24358	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( 0 (,) pi ) )
34		eliooord 12233	. . . . . . . . 9 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < pi ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) < pi ) )
36	35	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> 0 < ( Im ` ( log ` A ) ) )
37		imcl 13851	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` A ) e. CC -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
38	10, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
39		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
40	39	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
41		ltaddpos2 10519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u pi e. RR ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` A ) ) <-> -u pi < ( ( Im ` ( log ` A ) ) + -u pi ) ) )
42	38, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` A ) ) <-> -u pi < ( ( Im ` ( log ` A ) ) + -u pi ) ) )
43	36, 42	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> -u pi < ( ( Im ` ( log ` A ) ) + -u pi ) )
44	38	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
45		negsub 10329	. . . . . . 7 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) + -u pi ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) )
46	44, 12, 45	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) + -u pi ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) )
47	43, 46	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> -u pi < ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) )
48		imsub 13875	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` A ) e. CC /\ ( _i x. pi ) e. CC ) -> ( Im ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) - ( Im ` ( _i x. pi ) ) ) )
49	10, 13, 48	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) - ( Im ` ( _i x. pi ) ) ) )
50		reim 13849	. . . . . . . . 9 |- ( pi e. CC -> ( Re ` pi ) = ( Im ` ( _i x. pi ) ) )
51	12, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( Re ` pi ) = ( Im ` ( _i x. pi ) )
52		rere 13862	. . . . . . . . 9 |- ( pi e. RR -> ( Re ` pi ) = pi )
53	39, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( Re ` pi ) = pi
54	51, 53	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 |- ( Im ` ( _i x. pi ) ) = pi
55	54	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) - ( Im ` ( _i x. pi ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi )
56	49, 55	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) )
57	47, 56	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> -u pi < ( Im ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) )
58		resubcl 10345	. . . . . . 7 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) e. RR )
59	38, 39, 58	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) e. RR )
60	39	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> pi e. RR )
61		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
62		pipos 24212	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
63	61, 39, 62	ltleii 10160	. . . . . . 7 |- 0 <_ pi
64		subge02 10544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 <_ pi <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
65	38, 39, 64	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( 0 <_ pi <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
66	63, 65	mpbii 223	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
67		logimcl 24316	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
68	8, 67	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
69	68	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
70	59, 38, 60, 66, 69	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) - pi ) <_ pi )
71	56, 70	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) <_ pi )
72		ellogrn 24306	. . . 4 |- ( ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) e. ran log <-> ( ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) e. CC /\ -u pi < ( Im ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) <_ pi ) )
73	32, 57, 71, 72	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) e. ran log )
74		logef 24328	. . 3 |- ( ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) e. ran log -> ( log ` ( exp ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) ) = ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) )
75	73, 74	syl 17	. 2 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( log ` ( exp ` ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) ) ) = ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) )
76	30, 75	eqtr3d 2658	1 |- ( ( A e. CC /\ 0 < ( Im ` A ) ) -> ( log ` -u A ) = ( ( log ` A ) - ( _i x. pi ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   (,)cioo 12175   Recre 13837   Imcim 13838   expce 14792   picpi 14797   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  24642