Theorem ltdivmul 10898

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltdivmul	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < B <-> A < ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem ltdivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C x. B ) e. RR )
2	1	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C x. B ) e. RR )
3	2	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( C x. B ) e. RR )
4	3	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( C x. B ) e. RR )
5		ltdiv1 10887	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( C x. B ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < ( C x. B ) <-> ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) ) )
6	4, 5	syld3an2 1373	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < ( C x. B ) <-> ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) ) )
7		recn 10026	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
9		recn 10026	. . . . . 6 |- ( C e. RR -> C e. CC )
10	9	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
11		gt0ne0 10493	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> C =/= 0 )
12	11	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C =/= 0 )
13	8, 10, 12	divcan3d 10806	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. B ) / C ) = B )
14	13	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. B ) / C ) = B )
15	14	breq2d 4665	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) <-> ( A / C ) < B ) )
16	6, 15	bitr2d 269	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < B <-> A < ( C x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  ltdivmul2  10900  lt2mul2div  10901  ltrec  10905  supmul1  10992  avglt2  11271  3halfnz  11456  rpnnen1lem2  11814  rpnnen1lem1  11815  rpnnen1lem3  11816  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem1OLD  11821  rpnnen1lem3OLD  11822  rpnnen1lem5OLD  11824  ltdivmuld  11923  qbtwnre  12030  modid  12695  expnbnd  12993  mertenslem1  14616  tanhlt1  14890  eirrlem  14932  fldivp1  15601  pcfaclem  15602  4sqlem12  15660  icopnfcnv  22741  ovolscalem1  23281  mbfmulc2lem  23414  itg2monolem3  23519  dveflem  23742  dvlt0  23768  ftc1lem4  23802  radcnvlem1  24167  tangtx  24257  cosne0  24276  cosordlem  24277  efif1olem4  24291  logcnlem4  24391  logf1o2  24396  atantan  24650  atanbndlem  24652  birthdaylem3  24680  basellem3  24809  ppiub  24929  bposlem1  25009  bposlem2  25010  bposlem6  25014  bposlem8  25016  gausslemma2dlem0c  25083  lgsquadlem1  25105  2sqlem8  25151  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  ostth2lem2  25323  ex-fl  27304  nn0prpwlem  32317  ftc1cnnclem  33483  stoweidlem13  40230  logblt1b  42358  fldivexpfllog2  42359