sineq0ALT - Mathbox for Alan Sare

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Theorem sineq0ALT 39173

Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of

. The Virtual Deduction form of the proof is http://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altvd.html. The Metamath form of the proof is sineq0ALT 39173. The Virtual Deduction proof is based on Mario Carneiro's revision of Norm Megill's proof of sineq0 24273. The Virtual Deduction proof is verified by automatically transforming it into the Metamath form of the proof using completeusersproof, which is verified by the Metamath program. The proof of http://us.metamath.org/other/completeusersproof/sineq0altro.html is a form of the completed proof which preserves the Virtual Deduction proof's step numbers and their ordering. (Contributed by Alan Sare, 13-Jun-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Assertion**
Ref	Expression
sineq0ALT

**Proof of Theorem sineq0ALT**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 24210	. . . . 5
2		pipos 24212	. . . . 5
3	1, 2	elrpii 11835	. . . 4
4		2ne0 11113	. . . . . 6
5	4	a1i 11	. . . . 5 $/\$
6		2cn 11091	. . . . . . 7
7		2re 11090	. . . . . . . 8
8	7	a1i 11	. . . . . . 7
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . 6
10	9	a1i 11	. . . . 5 $/\$
11		id 22	. . . . . 6
12	11	adantr 481	. . . . 5 $/\$
13	6	a1i 11	. . . . . . 7
14	13, 11	mulcld 10060	. . . . . 6
15		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
17	13, 16, 11	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . 13
18	16, 11	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
19	18	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . 13
20	17, 19	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11
22		efadd 14824	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
23	18, 18, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
24	21, 23	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
26		sinval 14852	. . . . . . . . . . . . . . 15
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	26, 27	sylan9req 2677	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
29		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31		negicn 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	32, 11	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	30, 35	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37		2mulicn 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39		2muline0 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41	36, 38, 40	diveq0ad 10811	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	28, 42	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	30, 35	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
46	43, 45	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48		efadd 14824	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	18, 33, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
51	47, 50	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$
52	15	negidi 10350	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	52	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
54	16, 32, 11	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . 14
55	53, 54	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . 13
56	11	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . 13
57	55, 56	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
60		ef0 14821	. . . . . . . . . . 11
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
62	51, 59, 61	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 $/\$
63	25, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . 7 $/\$
65		abs1 14037	. . . . . . 7
66	64, 65	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
67		absefib 14928	. . . . . . . 8
68	67	biimparc 504	. . . . . . 7 $/\$
69	68	ancoms 469	. . . . . 6 $/\$
70	14, 66, 69	syl2an2r 876	. . . . 5 $/\$
71		mulre 13861	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
72	71	4animp1 38703	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	4an31 38704	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
74	5, 10, 12, 70, 73	eel1111 38947	. . . 4 $/\$
75	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
76	74, 75	modcld 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77	76	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	77	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
79	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
80		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
81	80, 1, 2	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
82		gt0ne0 10493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
83	82	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
84	83	3com23 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
85	1, 81, 2, 84	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
87	74, 79, 86	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
88	87	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	88	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
90		abssinper 24270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
91	90	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
92	91	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
94	89, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
95	88	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
96	95	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
97	1	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
99	96, 98	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
100	98, 95	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
101	100	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
102	95, 98	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
103	95, 98	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
104	103	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
105	102, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
106		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107	106	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
108	107	4an4132 38705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
109	12, 99, 101, 105, 108	eel1111 38947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
110	12, 100	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
111	109, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
113	112	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	94, 113	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115		modval 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
117	116	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
118	3, 117	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15
119	74, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
120	114, 119	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	27	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
122		abs0 14025	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	121, 122	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
125	120, 124	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
126	78, 125	abs00d 14185	. . . . . . . . . . 11 $/\$
127		notnotb 304	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	bicomi 214	. . . . . . . . . . . 12
129		ltne 10134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
130	129	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
131	130	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14
132	80, 131	mpi 20	. . . . . . . . . . . . 13
133	132	con3i 150	. . . . . . . . . . . 12
134	128, 133	sylbir 225	. . . . . . . . . . 11
135	126, 134	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
136		sinq12gt0 24259	. . . . . . . . . 10
137	135, 136	nsyl 135	. . . . . . . . 9 $/\$
138	80	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11
139	1	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11
140		elioo2 12216	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
141	138, 139, 140	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
142	141	notbii 310	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
143	137, 142	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144		3anan12 1051	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	144	notbii 310	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	143, 145	sylib 208	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
147		modlt 12679	. . . . . . . . . 10 $/\$
148	147	ancoms 469	. . . . . . . . 9 $/\$
149	3, 74, 148	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
150	76, 149	jca 554	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
151		not12an2impnot1 38784	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	146, 150, 151	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$
153		modge0 12678	. . . . . . . . 9 $/\$
154	153	ancoms 469	. . . . . . . 8 $/\$
155	3, 74, 154	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$
156		leloe 10124	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
157	156	biimp3a 1432	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
158	157	idiALT 38683	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
159	80, 76, 155, 158	mp3an2i 1429	. . . . . 6 $/\$ $\/$
160		pm2.53 388	. . . . . . . 8 $\/$
161	160	imp 445	. . . . . . 7 $\/$ $/\$
162	161	ancoms 469	. . . . . 6 $/\$ $\/$
163	152, 159, 162	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$
164	163	eqcomd 2628	. . . 4 $/\$
165		mod0 12675	. . . . . 6 $/\$
166	165	biimp3a 1432	. . . . 5 $/\$ $/\$
167	166	3com12 1269	. . . 4 $/\$ $/\$
168	3, 74, 164, 167	mp3an2i 1429	. . 3 $/\$
169	168	ex 450	. 2
170	97	a1i 11	. . . . . 6
171	85	a1i 11	. . . . . 6
172	11, 170, 171	divcan1d 10802	. . . . 5
173	172	fveq2d 6195	. . . 4
174		id 22	. . . . 5
175		sinkpi 24271	. . . . 5
176	174, 175	syl 17	. . . 4
177	173, 176	sylan9req 2677	. . 3 $/\$
178	177	ex 450	. 2
179	169, 178	impbid 202	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

cz 11377

crp 11832

cioo 12175

cfl 12591

cmo 12668

cabs 13974

ce 14792

csin 14794

cpi 14797

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631

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