Theorem hdmapglem7 37221

Description: Lemma for hdmapg 37222. Line 15 in [Baer] p. 111, f(x,y) alpha = f(y,x). In the proof, our E, ( O ` { E } ) X, Y, k, u, l, v correspond to Baer's w, H, x, y, x', x'', y' , y'', and our ( ( S ` Y ) ` X ) corresponds to Baer's f(x,y). (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapglem7.h	|- H = ( LHyp ` K )
hdmapglem7.e	|- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
hdmapglem7.o	|- O = ( ( ocH ` K ) ` W )
hdmapglem7.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hdmapglem7.v	|- V = ( Base ` U )
hdmapglem7.p	|- .+ = ( +g ` U )
hdmapglem7.q	|- .x. = ( .s ` U )
hdmapglem7.r	|- R = (Scalar ` U )
hdmapglem7.b	|- B = ( Base ` R )
hdmapglem7.a	|- .(+) = ( LSSum ` U )
hdmapglem7.n	|- N = ( LSpan ` U )
hdmapglem7.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hdmapglem7.x	|- ( ph -> X e. V )
hdmapglem7.t	|- .X. = ( .r ` R )
hdmapglem7.z	|- .0. = ( 0g ` R )
hdmapglem7.c	|- .+b = ( +g ` R )
hdmapglem7.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hdmapglem7.g	|- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
hdmapglem7.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
hdmapglem7	|- ( ph -> ( G ` ( ( S ` Y ) ` X ) ) = ( ( S ` X ) ` Y ) )

Proof of Theorem hdmapglem7

Dummy variables k l u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapglem7.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		hdmapglem7.e	. . 3 |- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
3		hdmapglem7.o	. . 3 |- O = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		hdmapglem7.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5		hdmapglem7.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
6		hdmapglem7.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` U )
7		hdmapglem7.q	. . 3 |- .x. = ( .s ` U )
8		hdmapglem7.r	. . 3 |- R = (Scalar ` U )
9		hdmapglem7.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10		hdmapglem7.a	. . 3 |- .(+) = ( LSSum ` U )
11		hdmapglem7.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` U )
12		hdmapglem7.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		hdmapglem7.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	hdmapglem7a 37219	. 2 |- ( ph -> E. u e. ( O ` { E } ) E. k e. B X = ( ( k .x. E ) .+ u ) )
15		hdmapglem7.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. V )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15	hdmapglem7a 37219	. 2 |- ( ph -> E. v e. ( O ` { E } ) E. l e. B Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) )
17		hdmapglem7.c	. . . . . . . . . . . 12 |- .+b = ( +g ` R )
18		hdmapglem7.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( (HGMap ` K ) ` W )
19	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
20	1, 4, 12	dvhlmod 36399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U e. LMod )
21	8	lmodring 18871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. LMod -> R e. Ring )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. Ring )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> R e. Ring )
24		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> k e. B )
25		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> l e. B )
26	1, 4, 8, 9, 18, 19, 25	hgmapcl 37181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` l ) e. B )
27		hdmapglem7.t	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .X. = ( .r ` R )
28	9, 27	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ k e. B /\ ( G ` l ) e. B ) -> ( k .X. ( G ` l ) ) e. B )
29	23, 24, 26, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( k .X. ( G ` l ) ) e. B )
30		hdmapglem7.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
34	1, 31, 32, 4, 5, 33, 2, 12	dvheveccl 36401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. ( V \ { ( 0g ` U ) } ) )
35	34	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E e. V )
36	35	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { E } C_ V )
37	1, 4, 5, 3	dochssv 36644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ { E } C_ V ) -> ( O ` { E } ) C_ V )
38	12, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( O ` { E } ) C_ V )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( O ` { E } ) C_ V )
40		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> u e. ( O ` { E } ) )
41	39, 40	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> u e. V )
42		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> v e. ( O ` { E } ) )
43	39, 42	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> v e. V )
44	1, 4, 5, 8, 9, 30, 19, 41, 43	hdmapipcl 37197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( ( S ` v ) ` u ) e. B )
45	1, 4, 8, 9, 17, 18, 19, 29, 44	hgmapadd 37186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( ( k .X. ( G ` l ) ) .+b ( ( S ` v ) ` u ) ) ) = ( ( G ` ( k .X. ( G ` l ) ) ) .+b ( G ` ( ( S ` v ) ` u ) ) ) )
46	1, 4, 8, 9, 27, 18, 19, 24, 26	hgmapmul 37187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( k .X. ( G ` l ) ) ) = ( ( G ` ( G ` l ) ) .X. ( G ` k ) ) )
47	1, 4, 8, 9, 18, 19, 25	hgmapvv 37218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( G ` l ) ) = l )
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( ( G ` ( G ` l ) ) .X. ( G ` k ) ) = ( l .X. ( G ` k ) ) )
49	46, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( k .X. ( G ` l ) ) ) = ( l .X. ( G ` k ) ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -g ` U ) = ( -g ` U )
51		hdmapglem7.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` R )
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 50, 7, 8, 9, 27, 51, 30, 18, 19, 40, 42, 24, 24	hdmapglem5 37214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( ( S ` v ) ` u ) ) = ( ( S ` u ) ` v ) )
53	49, 52	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( ( G ` ( k .X. ( G ` l ) ) ) .+b ( G ` ( ( S ` v ) ` u ) ) ) = ( ( l .X. ( G ` k ) ) .+b ( ( S ` u ) ` v ) ) )
54	45, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( ( k .X. ( G ` l ) ) .+b ( ( S ` v ) ` u ) ) ) = ( ( l .X. ( G ` k ) ) .+b ( ( S ` u ) ` v ) ) )
55	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> X e. V )
56	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 42, 40, 25, 24	hdmapglem7b 37220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( ( S ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) = ( ( k .X. ( G ` l ) ) .+b ( ( S ` v ) ` u ) ) )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( ( S ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ) = ( G ` ( ( k .X. ( G ` l ) ) .+b ( ( S ` v ) ` u ) ) ) )
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 55, 27, 51, 17, 30, 18, 40, 42, 24, 25	hdmapglem7b 37220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( ( S ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) = ( ( l .X. ( G ` k ) ) .+b ( ( S ` u ) ` v ) ) )
59	54, 57, 58	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( ( S ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ) = ( ( S ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) )
60	59	3adantl3 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) ) -> ( G ` ( ( S ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ) = ( ( S ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) )
61	60	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> ( G ` ( ( S ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ) = ( ( S ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) )
62		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> ( S ` Y ) = ( S ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) )
64		simp13 1093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> X = ( ( k .x. E ) .+ u ) )
65	63, 64	fveq12d 6197	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> ( ( S ` Y ) ` X ) = ( ( S ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) )
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> ( G ` ( ( S ` Y ) ` X ) ) = ( G ` ( ( S ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ) )
67	64	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> ( S ` X ) = ( S ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) )
68	67, 62	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> ( ( S ` X ) ` Y ) = ( ( S ` ( ( k .x. E ) .+ u ) ) ` ( ( l .x. E ) .+ v ) ) )
69	61, 66, 68	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) /\ ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) /\ Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) ) -> ( G ` ( ( S ` Y ) ` X ) ) = ( ( S ` X ) ` Y ) )
70	69	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) -> ( ( v e. ( O ` { E } ) /\ l e. B ) -> ( Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) -> ( G ` ( ( S ` Y ) ` X ) ) = ( ( S ` X ) ` Y ) ) ) )
71	70	rexlimdvv 3037	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) /\ X = ( ( k .x. E ) .+ u ) ) -> ( E. v e. ( O ` { E } ) E. l e. B Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) -> ( G ` ( ( S ` Y ) ` X ) ) = ( ( S ` X ) ` Y ) ) )
72	71	3exp 1264	. . 3 |- ( ph -> ( ( u e. ( O ` { E } ) /\ k e. B ) -> ( X = ( ( k .x. E ) .+ u ) -> ( E. v e. ( O ` { E } ) E. l e. B Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) -> ( G ` ( ( S ` Y ) ` X ) ) = ( ( S ` X ) ` Y ) ) ) ) )
73	72	rexlimdvv 3037	. 2 |- ( ph -> ( E. u e. ( O ` { E } ) E. k e. B X = ( ( k .x. E ) .+ u ) -> ( E. v e. ( O ` { E } ) E. l e. B Y = ( ( l .x. E ) .+ v ) -> ( G ` ( ( S ` Y ) ` X ) ) = ( ( S ` X ) ` Y ) ) ) )
74	14, 16, 73	mp2d 49	1 |- ( ph -> ( G ` ( ( S ` Y ) ` X ) ) = ( ( S ` X ) ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   _I cid 5023   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424   LSSumclsm 18049   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636  HDMapchdma 37082  HGMapchg 37175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914  df-hvmap 37046  df-hdmap1 37083  df-hdmap 37084  df-hgmap 37176

This theorem is referenced by:  hdmapg  37222