Theorem dvhlmod 36399

Description: The full vector space U constructed from a Hilbert lattice K (given a fiducial hyperplane W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	|- H = ( LHyp ` K )
dvhlvec.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dvhlvec.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
dvhlmod	|- ( ph -> U e. LMod )

Proof of Theorem dvhlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		dvhlvec.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		dvhlvec.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
4	1, 2, 3	dvhlvec 36398	. 2 |- ( ph -> U e. LVec )
5		lveclmod 19106	. 2 |- ( U e. LVec -> U e. LMod )
6	4, 5	syl 17	1 |- ( ph -> U e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   LModclmod 18863   LVecclvec 19102   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dvech 36368

This theorem is referenced by:  dvh0g  36400  dvhopellsm  36406  dib1dim2  36457  diclspsn  36483  cdlemn4a  36488  cdlemn5pre  36489  cdlemn11c  36498  dihjustlem  36505  dihord1  36507  dihord2a  36508  dihord2b  36509  dihord11c  36513  dihlsscpre  36523  dihvalcqat  36528  dihord6apre  36545  dihord5b  36548  dihord5apre  36551  dih0vbN  36571  dihglblem5  36587  dihjatc3  36602  dihmeetlem9N  36604  dihmeetlem13N  36608  dihmeetlem16N  36611  dihmeetlem19N  36614  dih1dimatlem  36618  dihlsprn  36620  dihlspsnat  36622  dihatlat  36623  dihatexv  36627  dihglblem6  36629  dochspss  36667  dochocsp  36668  dochspocN  36669  dochsncom  36671  dochsat  36672  dochshpncl  36673  dochlkr  36674  dochkrshp  36675  dochnoncon  36680  dochnel  36682  djhsumss  36696  djhunssN  36698  djhlsmcl  36703  dihjatcclem1  36707  dihjatcclem2  36708  dihjat  36712  dihprrnlem1N  36713  dihprrnlem2  36714  dihprrn  36715  djhlsmat  36716  dihjat1lem  36717  dihjat1  36718  dihsmsprn  36719  dihjat2  36720  dihsmatrn  36725  dvh3dimatN  36728  dvh2dimatN  36729  dvh1dim  36731  dvh4dimlem  36732  dvhdimlem  36733  dvh2dim  36734  dvh3dim  36735  dvh4dimN  36736  dvh3dim2  36737  dvh3dim3N  36738  dochsatshp  36740  dochsatshpb  36741  dochsnshp  36742  dochshpsat  36743  dochkrsat  36744  dochkrsat2  36745  dochkrsm  36747  dochexmidlem1  36749  dochexmidlem2  36750  dochexmidlem4  36752  dochexmidlem5  36753  dochexmidlem6  36754  dochexmidlem7  36755  dochexmidlem8  36756  dochexmid  36757  dochsnkrlem1  36758  dochsnkr  36761  dochsnkr2cl  36763  dochfl1  36765  dochfln0  36766  dochkr1  36767  dochkr1OLDN  36768  lcfl4N  36784  lcfl5  36785  lcfl6lem  36787  lcfl7lem  36788  lcfl6  36789  lcfl8  36791  lcfl8b  36793  lcfl9a  36794  lclkrlem1  36795  lclkrlem2a  36796  lclkrlem2b  36797  lclkrlem2c  36798  lclkrlem2e  36800  lclkrlem2f  36801  lclkrlem2h  36803  lclkrlem2j  36805  lclkrlem2k  36806  lclkrlem2o  36810  lclkrlem2p  36811  lclkrlem2r  36813  lclkrlem2s  36814  lclkrlem2u  36816  lclkrlem2v  36817  lclkrlem2  36821  lclkr  36822  lclkrslem1  36826  lclkrslem2  36827  lclkrs  36828  lcfrvalsnN  36830  lcfrlem4  36834  lcfrlem5  36835  lcfrlem6  36836  lcfrlem7  36837  lcfrlem9  36839  lcfrlem12N  36843  lcfrlem15  36846  lcfrlem16  36847  lcfrlem17  36848  lcfrlem19  36850  lcfrlem20  36851  lcfrlem21  36852  lcfrlem23  36854  lcfrlem25  36856  lcfrlem26  36857  lcfrlem28  36859  lcfrlem29  36860  lcfrlem30  36861  lcfrlem31  36862  lcfrlem33  36864  lcfrlem35  36866  lcfrlem36  36867  lcfrlem37  36868  lcfrlem40  36871  lcfrlem42  36873  lcfr  36874  lcdvbase  36882  lcdvbasecl  36885  lcdvaddval  36887  lcdsca  36888  lcdvsval  36893  lcd0v  36900  lcd0v2  36901  lcdvsubval  36907  lcdlss  36908  lcdlsp  36910  mapdval2N  36919  mapdordlem2  36926  mapdsn  36930  mapd1dim2lem1N  36933  mapdrvallem2  36934  mapdunirnN  36939  mapdcv  36949  mapdin  36951  mapdlsm  36953  mapd0  36954  mapdcnvatN  36955  mapdat  36956  mapdspex  36957  mapdn0  36958  mapdncol  36959  mapdindp  36960  mapdpglem1  36961  mapdpglem2  36962  mapdpglem2a  36963  mapdpglem3  36964  mapdpglem4N  36965  mapdpglem5N  36966  mapdpglem6  36967  mapdpglem8  36968  mapdpglem9  36969  mapdpglem12  36972  mapdpglem13  36973  mapdpglem14  36974  mapdpglem17N  36977  mapdpglem18  36978  mapdpglem19  36979  mapdpglem20  36980  mapdpglem21  36981  mapdpglem23  36983  mapdpglem30a  36984  mapdpglem30b  36985  mapdpglem29  36989  mapdpglem30  36991  mapdheq2  37018  mapdheq4lem  37020  mapdh6lem1N  37022  mapdh6lem2N  37023  mapdh6aN  37024  mapdh6b0N  37025  mapdh6bN  37026  mapdh6cN  37027  mapdh6dN  37028  mapdh6eN  37029  mapdh6gN  37031  mapdh6hN  37032  mapdh6iN  37033  mapdh8ab  37066  mapdh8ad  37068  mapdh8e  37073  mapdh9a  37079  mapdh9aOLDN  37080  hdmap1val0  37089  hdmap1l6lem1  37097  hdmap1l6lem2  37098  hdmap1l6a  37099  hdmap1l6b0N  37100  hdmap1l6b  37101  hdmap1l6c  37102  hdmap1l6d  37103  hdmap1l6e  37104  hdmap1l6g  37106  hdmap1l6h  37107  hdmap1l6i  37108  hdmap1eulem  37113  hdmap1eulemOLDN  37114  hdmap1neglem1N  37117  hdmapval0  37125  hdmapeveclem  37126  hdmapval3lemN  37129  hdmap10lem  37131  hdmap10  37132  hdmap11lem1  37133  hdmap11lem2  37134  hdmapeq0  37136  hdmapneg  37138  hdmapsub  37139  hdmap11  37140  hdmaprnlem1N  37141  hdmaprnlem3N  37142  hdmaprnlem3uN  37143  hdmaprnlem4tN  37144  hdmaprnlem4N  37145  hdmaprnlem6N  37146  hdmaprnlem8N  37148  hdmaprnlem9N  37149  hdmaprnlem3eN  37150  hdmaprnlem16N  37154  hdmaprnlem17N  37155  hdmap14lem1a  37158  hdmap14lem2a  37159  hdmap14lem2N  37161  hdmap14lem3  37162  hdmap14lem4a  37163  hdmap14lem6  37165  hdmap14lem8  37167  hdmap14lem9  37168  hdmap14lem10  37169  hdmap14lem11  37170  hdmap14lem13  37172  hgmapval0  37184  hgmapval1  37185  hgmapadd  37186  hgmapmul  37187  hgmaprnlem2N  37189  hgmaprnlem3N  37190  hgmap11  37194  hgmapeq0  37196  hdmapln1  37198  hdmaplna1  37199  hdmaplns1  37200  hdmaplnm1  37201  hdmapgln2  37204  hdmaplkr  37205  hdmapellkr  37206  hdmapip0  37207  hdmapinvlem1  37210  hdmapinvlem3  37212  hdmapinvlem4  37213  hdmapglem5  37214  hgmapvvlem1  37215  hgmapvvlem3  37217  hdmapglem7a  37219  hdmapglem7b  37220  hdmapglem7  37221  hdmapoc  37223  hlhilphllem  37251