Theorem hdmapval2 37124

Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two =/= hypothesis? Consider hdmaplem1 37060 through hdmaplem4 37063, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval2.h	|- H = ( LHyp ` K )
hdmapval2.e	|- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
hdmapval2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hdmapval2.v	|- V = ( Base ` U )
hdmapval2.n	|- N = ( LSpan ` U )
hdmapval2.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
hdmapval2.d	|- D = ( Base ` C )
hdmapval2.j	|- J = ( (HVMap ` K ) ` W )
hdmapval2.i	|- I = ( (HDMap1 ` K ) ` W )
hdmapval2.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hdmapval2.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hdmapval2.t	|- ( ph -> T e. V )
hdmapval2.x	|- ( ph -> X e. V )
hdmapval2.ne	|- ( ph -> -. X e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hdmapval2	|- ( ph -> ( S ` T ) = ( I ` <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) , T >. ) )

Proof of Theorem hdmapval2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( S ` T ) = ( S ` T ) )
2		hdmapval2.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		hdmapval2.e	. . . 4 |- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
4		hdmapval2.u	. . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5		hdmapval2.v	. . . 4 |- V = ( Base ` U )
6		hdmapval2.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` U )
7		hdmapval2.c	. . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
8		hdmapval2.d	. . . 4 |- D = ( Base ` C )
9		hdmapval2.j	. . . 4 |- J = ( (HVMap ` K ) ` W )
10		hdmapval2.i	. . . 4 |- I = ( (HDMap1 ` K ) ` W )
11		hdmapval2.s	. . . 4 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
12		hdmapval2.k	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		hdmapval2.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. V )
14	2, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13	hdmapcl 37122	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` T ) e. D )
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	hdmapval2lem 37123	. . 3 |- ( ph -> ( ( S ` T ) = ( S ` T ) <-> A. z e. V ( -. z e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) -> ( S ` T ) = ( I ` <. z , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. ) ) ) )
16	1, 15	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> A. z e. V ( -. z e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) -> ( S ` T ) = ( I ` <. z , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. ) ) )
17		hdmapval2.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
18		hdmapval2.ne	. 2 |- ( ph -> -. X e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) )
19		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( z = X -> ( z e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) <-> X e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) ) )
20	19	notbid 308	. . . 4 |- ( z = X -> ( -. z e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) <-> -. X e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) ) )
21		oteq1 4411	. . . . . . 7 |- ( z = X -> <. z , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. = <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. )
22		oteq3 4413	. . . . . . . . 9 |- ( z = X -> <. E , ( J ` E ) , z >. = <. E , ( J ` E ) , X >. )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( z = X -> ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) )
24	23	oteq2d 4415	. . . . . . 7 |- ( z = X -> <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. = <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) , T >. )
25	21, 24	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( z = X -> <. z , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. = <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) , T >. )
26	25	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( z = X -> ( I ` <. z , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. ) = ( I ` <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) , T >. ) )
27	26	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( z = X -> ( ( S ` T ) = ( I ` <. z , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. ) <-> ( S ` T ) = ( I ` <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) , T >. ) ) )
28	20, 27	imbi12d 334	. . 3 |- ( z = X -> ( ( -. z e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) -> ( S ` T ) = ( I ` <. z , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. ) ) <-> ( -. X e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) -> ( S ` T ) = ( I ` <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) , T >. ) ) ) )
29	28	rspccv 3306	. 2 |- ( A. z e. V ( -. z e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) -> ( S ` T ) = ( I ` <. z , ( I ` <. E , ( J ` E ) , z >. ) , T >. ) ) -> ( X e. V -> ( -. X e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) -> ( S ` T ) = ( I ` <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) , T >. ) ) ) )
30	16, 17, 18, 29	syl3c 66	1 |- ( ph -> ( S ` T ) = ( I ` <. X , ( I ` <. E , ( J ` E ) , X >. ) , T >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   <.cotp 4185   _I cid 5023   |` cres 5116   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LSpanclspn 18971   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875  HVMapchvm 37045  HDMap1chdma1 37081  HDMapchdma 37082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914  df-hvmap 37046  df-hdmap1 37083  df-hdmap 37084

This theorem is referenced by:  hdmapval0  37125  hdmapeveclem  37126  hdmapval3lemN  37129  hdmap10lem  37131  hdmap11lem1  37133