Theorem hdmapval3lemN 37129

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector E. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	|- H = ( LHyp ` K )
hdmapval3.e	|- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
hdmapval3.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
hdmapval3.v	|- V = ( Base ` U )
hdmapval3.n	|- N = ( LSpan ` U )
hdmapval3.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
hdmapval3.d	|- D = ( Base ` C )
hdmapval3.j	|- J = ( (HVMap ` K ) ` W )
hdmapval3.i	|- I = ( (HDMap1 ` K ) ` W )
hdmapval3.s	|- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
hdmapval3.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
hdmapval3.te	|- ( ph -> ( N ` { T } ) =/= ( N ` { E } ) )
hdmapval3lem.t	|- ( ph -> T e. ( V \ { ( 0g ` U ) } ) )
hdmapval3lem.x	|- ( ph -> x e. V )
hdmapval3lem.xn	|- ( ph -> -. x e. ( N ` { E , T } ) )

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3lemN	|- ( ph -> ( S ` T ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , T >. ) )

Proof of Theorem hdmapval3lemN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapval3.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
2		hdmapval3.u	. . 3 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		hdmapval3.v	. . 3 |- V = ( Base ` U )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
5		hdmapval3.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` U )
6		hdmapval3.c	. . 3 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
7		hdmapval3.d	. . 3 |- D = ( Base ` C )
8		eqid 2622	. . 3 |- ( LSpan ` C ) = ( LSpan ` C )
9		eqid 2622	. . 3 |- ( (mapd ` K ) ` W ) = ( (mapd ` K ) ` W )
10		hdmapval3.i	. . 3 |- I = ( (HDMap1 ` K ) ` W )
11		hdmapval3.k	. . 3 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
13		hdmapval3.j	. . . . . 6 |- J = ( (HVMap ` K ) ` W )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
15		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
16		hdmapval3.e	. . . . . . 7 |- E = <. ( _I |` ( Base ` K ) ) , ( _I |` ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) >.
17	1, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11	dvheveccl 36401	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( V \ { ( 0g ` U ) } ) )
18	1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17	hvmapcl2 37055	. . . . 5 |- ( ph -> ( J ` E ) e. ( D \ { ( 0g ` C ) } ) )
19	18	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> ( J ` E ) e. D )
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17	mapdhvmap 37058	. . . 4 |- ( ph -> ( ( (mapd ` K ) ` W ) ` ( N ` { E } ) ) = ( ( LSpan ` C ) ` { ( J ` E ) } ) )
21	1, 2, 11	dvhlvec 36398	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LVec )
22		hdmapval3lem.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> x e. V )
23	17	eldifad 3586	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. V )
24		hdmapval3lem.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. ( V \ { ( 0g ` U ) } ) )
25	24	eldifad 3586	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. V )
26		hdmapval3lem.xn	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. x e. ( N ` { E , T } ) )
27	3, 5, 21, 22, 23, 25, 26	lspindpi 19132	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { x } ) =/= ( N ` { E } ) /\ ( N ` { x } ) =/= ( N ` { T } ) ) )
28	27	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { x } ) =/= ( N ` { E } ) )
29	28	necomd 2849	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { E } ) =/= ( N ` { x } ) )
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22	hdmap1cl 37094	. . 3 |- ( ph -> ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) e. D )
31		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) )
32		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` U ) = ( -g ` U )
33		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` C ) = ( -g ` C )
34		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
35	1, 2, 11	dvhlmod 36399	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LMod )
36	3, 34, 5, 35, 23, 25	lspprcl 18978	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { E , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
37	3, 4, 34, 35, 36, 22, 26	lssneln0 18952	. . . . . 6 |- ( ph -> x e. ( V \ { ( 0g ` U ) } ) )
38	1, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20	hdmap1eq 37091	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) <-> ( ( ( (mapd ` K ) ` W ) ` ( N ` { x } ) ) = ( ( LSpan ` C ) ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) /\ ( ( (mapd ` K ) ` W ) ` ( N ` { ( E ( -g ` U ) x ) } ) ) = ( ( LSpan ` C ) ` { ( ( J ` E ) ( -g ` C ) ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ) } ) ) ) )
39	31, 38	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( (mapd ` K ) ` W ) ` ( N ` { x } ) ) = ( ( LSpan ` C ) ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) /\ ( ( (mapd ` K ) ` W ) ` ( N ` { ( E ( -g ` U ) x ) } ) ) = ( ( LSpan ` C ) ` { ( ( J ` E ) ( -g ` C ) ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) ) } ) ) )
40	39	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> ( ( (mapd ` K ) ` W ) ` ( N ` { x } ) ) = ( ( LSpan ` C ) ` { ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) } ) )
41		hdmapval3.te	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { T } ) =/= ( N ` { E } ) )
42	41	necomd 2849	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { E } ) =/= ( N ` { T } ) )
43		hdmapval3.s	. . . . 5 |- S = ( (HDMap ` K ) ` W )
44	3, 5, 35, 23, 25	lspprid1 18997	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. ( N ` { E , T } ) )
45	34, 5, 35, 36, 44	lspsnel5a 18996	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { E } ) C_ ( N ` { E , T } ) )
46	45, 45	unssd 3789	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { E } ) ) C_ ( N ` { E , T } ) )
47	46, 26	ssneldd 3606	. . . . 5 |- ( ph -> -. x e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { E } ) ) )
48	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47	hdmapval2 37124	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` E ) = ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , E >. ) )
49	1, 16, 13, 43, 11	hdmapevec 37127	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` E ) = ( J ` E ) )
50	48, 49	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , E >. ) = ( J ` E ) )
51	3, 5, 35, 23, 25	lspprid2 18998	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. ( N ` { E , T } ) )
52	34, 5, 35, 36, 51	lspsnel5a 18996	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { T } ) C_ ( N ` { E , T } ) )
53	45, 52	unssd 3789	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) C_ ( N ` { E , T } ) )
54	53, 26	ssneldd 3606	. . . . 5 |- ( ph -> -. x e. ( ( N ` { E } ) u. ( N ` { T } ) ) )
55	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54	hdmapval2 37124	. . . 4 |- ( ph -> ( S ` T ) = ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , T >. ) )
56	55	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( I ` <. x , ( I ` <. E , ( J ` E ) , x >. ) , T >. ) = ( S ` T ) )
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56	hdmap1eq4N 37096	. 2 |- ( ph -> ( I ` <. E , ( J ` E ) , T >. ) = ( S ` T ) )
58	57	eqcomd 2628	1 |- ( ph -> ( S ` T ) = ( I ` <. E , ( J ` E ) , T >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   <.cotp 4185   _I cid 5023   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   0gc0g 16100   -gcsg 17424   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875  mapdcmpd 36913  HVMapchvm 37045  HDMap1chdma1 37081  HDMapchdma 37082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914  df-hvmap 37046  df-hdmap1 37083  df-hdmap 37084

This theorem is referenced by:  hdmapval3N  37130