Theorem hhssabloi 28119

Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
hhssabloi	|- ( +h |` ( H X. H ) ) e. AbelOp

Proof of Theorem hhssabloi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssabl.1	. . . 4 |- H e. SH
2	1	hhssabloilem 28118	. . 3 |- ( +h e. GrpOp /\ ( +h |` ( H X. H ) ) e. GrpOp /\ ( +h |` ( H X. H ) ) C_ +h )
3	2	simp2i 1071	. 2 |- ( +h |` ( H X. H ) ) e. GrpOp
4	1	shssii 28070	. . . . 5 |- H C_ ~H
5		xpss12 5225	. . . . 5 |- ( ( H C_ ~H /\ H C_ ~H ) -> ( H X. H ) C_ ( ~H X. ~H ) )
6	4, 4, 5	mp2an 708	. . . 4 |- ( H X. H ) C_ ( ~H X. ~H )
7		ax-hfvadd 27857	. . . . 5 |- +h : ( ~H X. ~H ) --> ~H
8	7	fdmi 6052	. . . 4 |- dom +h = ( ~H X. ~H )
9	6, 8	sseqtr4i 3638	. . 3 |- ( H X. H ) C_ dom +h
10		ssdmres 5420	. . 3 |- ( ( H X. H ) C_ dom +h <-> dom ( +h |` ( H X. H ) ) = ( H X. H ) )
11	9, 10	mpbi 220	. 2 |- dom ( +h |` ( H X. H ) ) = ( H X. H )
12	1	sheli 28071	. . . 4 |- ( x e. H -> x e. ~H )
13	1	sheli 28071	. . . 4 |- ( y e. H -> y e. ~H )
14		ax-hvcom 27858	. . . 4 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) = ( y +h x ) )
15	12, 13, 14	syl2an 494	. . 3 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( x +h y ) = ( y +h x ) )
16		ovres 6800	. . 3 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( x ( +h |` ( H X. H ) ) y ) = ( x +h y ) )
17		ovres 6800	. . . 4 |- ( ( y e. H /\ x e. H ) -> ( y ( +h |` ( H X. H ) ) x ) = ( y +h x ) )
18	17	ancoms 469	. . 3 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( y ( +h |` ( H X. H ) ) x ) = ( y +h x ) )
19	15, 16, 18	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( x ( +h |` ( H X. H ) ) y ) = ( y ( +h |` ( H X. H ) ) x ) )
20	3, 11, 19	isabloi 27405	1 |- ( +h |` ( H X. H ) ) e. AbelOp

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343   AbelOpcablo 27398   ~Hchil 27776   +h cva 27777   SHcsh 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-sh 28064

This theorem is referenced by:  hhssablo  28120  hhssnv  28121