Theorem hhssnv 28121

Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssnvt.1	|- W = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.
hhssnv.2	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
hhssnv	|- W e. NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssnv.2	. . . . 5 |- H e. SH
2	1	hhssabloi 28119	. . . 4 |- ( +h |` ( H X. H ) ) e. AbelOp
3		ablogrpo 27401	. . . 4 |- ( ( +h |` ( H X. H ) ) e. AbelOp -> ( +h |` ( H X. H ) ) e. GrpOp )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( +h |` ( H X. H ) ) e. GrpOp
5	1	shssii 28070	. . . . . 6 |- H C_ ~H
6		xpss12 5225	. . . . . 6 |- ( ( H C_ ~H /\ H C_ ~H ) -> ( H X. H ) C_ ( ~H X. ~H ) )
7	5, 5, 6	mp2an 708	. . . . 5 |- ( H X. H ) C_ ( ~H X. ~H )
8		ax-hfvadd 27857	. . . . . 6 |- +h : ( ~H X. ~H ) --> ~H
9	8	fdmi 6052	. . . . 5 |- dom +h = ( ~H X. ~H )
10	7, 9	sseqtr4i 3638	. . . 4 |- ( H X. H ) C_ dom +h
11		ssdmres 5420	. . . 4 |- ( ( H X. H ) C_ dom +h <-> dom ( +h |` ( H X. H ) ) = ( H X. H ) )
12	10, 11	mpbi 220	. . 3 |- dom ( +h |` ( H X. H ) ) = ( H X. H )
13	4, 12	grporn 27375	. 2 |- H = ran ( +h |` ( H X. H ) )
14		sh0 28073	. . . . . 6 |- ( H e. SH -> 0h e. H )
15	1, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0h e. H
16		ovres 6800	. . . . 5 |- ( ( 0h e. H /\ 0h e. H ) -> ( 0h ( +h |` ( H X. H ) ) 0h ) = ( 0h +h 0h ) )
17	15, 15, 16	mp2an 708	. . . 4 |- ( 0h ( +h |` ( H X. H ) ) 0h ) = ( 0h +h 0h )
18		ax-hv0cl 27860	. . . . 5 |- 0h e. ~H
19	18	hvaddid2i 27886	. . . 4 |- ( 0h +h 0h ) = 0h
20	17, 19	eqtri 2644	. . 3 |- ( 0h ( +h |` ( H X. H ) ) 0h ) = 0h
21		eqid 2622	. . . . 5 |- (GId ` ( +h |` ( H X. H ) ) ) = (GId ` ( +h |` ( H X. H ) ) )
22	13, 21	grpoid 27374	. . . 4 |- ( ( ( +h |` ( H X. H ) ) e. GrpOp /\ 0h e. H ) -> ( 0h = (GId ` ( +h |` ( H X. H ) ) ) <-> ( 0h ( +h |` ( H X. H ) ) 0h ) = 0h ) )
23	4, 15, 22	mp2an 708	. . 3 |- ( 0h = (GId ` ( +h |` ( H X. H ) ) ) <-> ( 0h ( +h |` ( H X. H ) ) 0h ) = 0h )
24	20, 23	mpbir 221	. 2 |- 0h = (GId ` ( +h |` ( H X. H ) ) )
25		ax-hfvmul 27862	. . . . . 6 |- .h : ( CC X. ~H ) --> ~H
26		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( .h : ( CC X. ~H ) --> ~H -> .h Fn ( CC X. ~H ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . 5 |- .h Fn ( CC X. ~H )
28		ssid 3624	. . . . . 6 |- CC C_ CC
29		xpss12 5225	. . . . . 6 |- ( ( CC C_ CC /\ H C_ ~H ) -> ( CC X. H ) C_ ( CC X. ~H ) )
30	28, 5, 29	mp2an 708	. . . . 5 |- ( CC X. H ) C_ ( CC X. ~H )
31		fnssres 6004	. . . . 5 |- ( ( .h Fn ( CC X. ~H ) /\ ( CC X. H ) C_ ( CC X. ~H ) ) -> ( .h |` ( CC X. H ) ) Fn ( CC X. H ) )
32	27, 30, 31	mp2an 708	. . . 4 |- ( .h |` ( CC X. H ) ) Fn ( CC X. H )
33		ovelrn 6810	. . . . . . 7 |- ( ( .h |` ( CC X. H ) ) Fn ( CC X. H ) -> ( z e. ran ( .h |` ( CC X. H ) ) <-> E. x e. CC E. y e. H z = ( x ( .h |` ( CC X. H ) ) y ) ) )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( z e. ran ( .h |` ( CC X. H ) ) <-> E. x e. CC E. y e. H z = ( x ( .h |` ( CC X. H ) ) y ) )
35		ovres 6800	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. H ) -> ( x ( .h |` ( CC X. H ) ) y ) = ( x .h y ) )
36		shmulcl 28075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H e. SH /\ x e. CC /\ y e. H ) -> ( x .h y ) e. H )
37	1, 36	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. H ) -> ( x .h y ) e. H )
38	35, 37	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. H ) -> ( x ( .h |` ( CC X. H ) ) y ) e. H )
39		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x ( .h |` ( CC X. H ) ) y ) -> ( z e. H <-> ( x ( .h |` ( CC X. H ) ) y ) e. H ) )
40	38, 39	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. H ) -> ( z = ( x ( .h |` ( CC X. H ) ) y ) -> z e. H ) )
41	40	rexlimivv 3036	. . . . . 6 |- ( E. x e. CC E. y e. H z = ( x ( .h |` ( CC X. H ) ) y ) -> z e. H )
42	34, 41	sylbi 207	. . . . 5 |- ( z e. ran ( .h |` ( CC X. H ) ) -> z e. H )
43	42	ssriv 3607	. . . 4 |- ran ( .h |` ( CC X. H ) ) C_ H
44		df-f 5892	. . . 4 |- ( ( .h |` ( CC X. H ) ) : ( CC X. H ) --> H <-> ( ( .h |` ( CC X. H ) ) Fn ( CC X. H ) /\ ran ( .h |` ( CC X. H ) ) C_ H ) )
45	32, 43, 44	mpbir2an 955	. . 3 |- ( .h |` ( CC X. H ) ) : ( CC X. H ) --> H
46		ax-1cn 9994	. . . . 5 |- 1 e. CC
47		ovres 6800	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ x e. H ) -> ( 1 ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( 1 .h x ) )
48	46, 47	mpan 706	. . . 4 |- ( x e. H -> ( 1 ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( 1 .h x ) )
49	1	sheli 28071	. . . . 5 |- ( x e. H -> x e. ~H )
50		ax-hvmulid 27863	. . . . 5 |- ( x e. ~H -> ( 1 .h x ) = x )
51	49, 50	syl 17	. . . 4 |- ( x e. H -> ( 1 .h x ) = x )
52	48, 51	eqtrd 2656	. . 3 |- ( x e. H -> ( 1 ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = x )
53		id 22	. . . . 5 |- ( y e. CC -> y e. CC )
54	1	sheli 28071	. . . . 5 |- ( z e. H -> z e. ~H )
55		ax-hvdistr1 27865	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( y .h ( x +h z ) ) = ( ( y .h x ) +h ( y .h z ) ) )
56	53, 49, 54, 55	syl3an 1368	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y .h ( x +h z ) ) = ( ( y .h x ) +h ( y .h z ) ) )
57		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( x e. H /\ z e. H ) -> ( x ( +h |` ( H X. H ) ) z ) = ( x +h z ) )
58	57	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( x ( +h |` ( H X. H ) ) z ) = ( x +h z ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( x ( +h |` ( H X. H ) ) z ) ) = ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( x +h z ) ) )
60		shaddcl 28074	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. SH /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( x +h z ) e. H )
61	1, 60	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( x e. H /\ z e. H ) -> ( x +h z ) e. H )
62		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ ( x +h z ) e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( x +h z ) ) = ( y .h ( x +h z ) ) )
63	61, 62	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ ( x e. H /\ z e. H ) ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( x +h z ) ) = ( y .h ( x +h z ) ) )
64	63	3impb 1260	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( x +h z ) ) = ( y .h ( x +h z ) ) )
65	59, 64	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( x ( +h |` ( H X. H ) ) z ) ) = ( y .h ( x +h z ) ) )
66		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( y .h x ) )
67	66	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( y .h x ) )
68		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ z e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) z ) = ( y .h z ) )
69	68	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) z ) = ( y .h z ) )
70	67, 69	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) z ) ) = ( ( y .h x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( y .h z ) ) )
71		shmulcl 28075	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. SH /\ y e. CC /\ x e. H ) -> ( y .h x ) e. H )
72	1, 71	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( y .h x ) e. H )
73	72	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y .h x ) e. H )
74		shmulcl 28075	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. SH /\ y e. CC /\ z e. H ) -> ( y .h z ) e. H )
75	1, 74	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ z e. H ) -> ( y .h z ) e. H )
76	75	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y .h z ) e. H )
77	73, 76	ovresd 6801	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( ( y .h x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( y .h z ) ) = ( ( y .h x ) +h ( y .h z ) ) )
78	70, 77	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) z ) ) = ( ( y .h x ) +h ( y .h z ) ) )
79	56, 65, 78	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. H /\ z e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( x ( +h |` ( H X. H ) ) z ) ) = ( ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) z ) ) )
80		ax-hvdistr2 27866	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( y + z ) .h x ) = ( ( y .h x ) +h ( z .h x ) ) )
81	49, 80	syl3an3 1361	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y + z ) .h x ) = ( ( y .h x ) +h ( z .h x ) ) )
82		addcl 10018	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y + z ) e. CC )
83		ovres 6800	. . . . 5 |- ( ( ( y + z ) e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y + z ) ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( ( y + z ) .h x ) )
84	82, 83	stoic3 1701	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y + z ) ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( ( y + z ) .h x ) )
85	66	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( y .h x ) )
86		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( z e. CC /\ x e. H ) -> ( z ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( z .h x ) )
87	86	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( z ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( z .h x ) )
88	85, 87	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( z ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) = ( ( y .h x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( z .h x ) ) )
89	72	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( y .h x ) e. H )
90		shmulcl 28075	. . . . . . . 8 |- ( ( H e. SH /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( z .h x ) e. H )
91	1, 90	mp3an1 1411	. . . . . . 7 |- ( ( z e. CC /\ x e. H ) -> ( z .h x ) e. H )
92	91	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( z .h x ) e. H )
93	89, 92	ovresd 6801	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y .h x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( z .h x ) ) = ( ( y .h x ) +h ( z .h x ) ) )
94	88, 93	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( z ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) = ( ( y .h x ) +h ( z .h x ) ) )
95	81, 84, 94	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y + z ) ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ( +h |` ( H X. H ) ) ( z ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) )
96		ax-hvmulass 27864	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( y x. z ) .h x ) = ( y .h ( z .h x ) ) )
97	49, 96	syl3an3 1361	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y x. z ) .h x ) = ( y .h ( z .h x ) ) )
98		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y x. z ) e. CC )
99		ovres 6800	. . . . 5 |- ( ( ( y x. z ) e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y x. z ) ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( ( y x. z ) .h x ) )
100	98, 99	stoic3 1701	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y x. z ) ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( ( y x. z ) .h x ) )
101	87	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( z ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) = ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( z .h x ) ) )
102		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( y e. CC /\ ( z .h x ) e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( z .h x ) ) = ( y .h ( z .h x ) ) )
103	91, 102	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( y e. CC /\ ( z e. CC /\ x e. H ) ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( z .h x ) ) = ( y .h ( z .h x ) ) )
104	103	3impb 1260	. . . . 5 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( z .h x ) ) = ( y .h ( z .h x ) ) )
105	101, 104	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( z ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) = ( y .h ( z .h x ) ) )
106	97, 100, 105	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. H ) -> ( ( y x. z ) ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) = ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) ( z ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) )
107		eqid 2622	. . 3 |- <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. = <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >.
108	2, 12, 45, 52, 79, 95, 106, 107	isvciOLD 27435	. 2 |- <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. e. CVecOLD
109		normf 27980	. . 3 |- normh : ~H --> RR
110		fssres 6070	. . 3 |- ( ( normh : ~H --> RR /\ H C_ ~H ) -> ( normh |` H ) : H --> RR )
111	109, 5, 110	mp2an 708	. 2 |- ( normh |` H ) : H --> RR
112		fvres 6207	. . . . 5 |- ( x e. H -> ( ( normh |` H ) ` x ) = ( normh ` x ) )
113	112	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( x e. H -> ( ( ( normh |` H ) ` x ) = 0 <-> ( normh ` x ) = 0 ) )
114		norm-i 27986	. . . . 5 |- ( x e. ~H -> ( ( normh ` x ) = 0 <-> x = 0h ) )
115	49, 114	syl 17	. . . 4 |- ( x e. H -> ( ( normh ` x ) = 0 <-> x = 0h ) )
116	113, 115	bitrd 268	. . 3 |- ( x e. H -> ( ( ( normh |` H ) ` x ) = 0 <-> x = 0h ) )
117	116	biimpa 501	. 2 |- ( ( x e. H /\ ( ( normh |` H ) ` x ) = 0 ) -> x = 0h )
118		norm-iii 27997	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( y .h x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( normh ` x ) ) )
119	49, 118	sylan2 491	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( normh ` ( y .h x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( normh ` x ) ) )
120	66	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) = ( ( normh |` H ) ` ( y .h x ) ) )
121		fvres 6207	. . . . 5 |- ( ( y .h x ) e. H -> ( ( normh |` H ) ` ( y .h x ) ) = ( normh ` ( y .h x ) ) )
122	72, 121	syl 17	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` ( y .h x ) ) = ( normh ` ( y .h x ) ) )
123	120, 122	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) = ( normh ` ( y .h x ) ) )
124	112	adantl 482	. . . 4 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` x ) = ( normh ` x ) )
125	124	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( ( abs ` y ) x. ( ( normh |` H ) ` x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( normh ` x ) ) )
126	119, 123, 125	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( y e. CC /\ x e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` ( y ( .h |` ( CC X. H ) ) x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( ( normh |` H ) ` x ) ) )
127	1	sheli 28071	. . . 4 |- ( y e. H -> y e. ~H )
128		norm-ii 27995	. . . 4 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( x +h y ) ) <_ ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) )
129	49, 127, 128	syl2an 494	. . 3 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( normh ` ( x +h y ) ) <_ ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) )
130		ovres 6800	. . . . 5 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( x ( +h |` ( H X. H ) ) y ) = ( x +h y ) )
131	130	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` ( x ( +h |` ( H X. H ) ) y ) ) = ( ( normh |` H ) ` ( x +h y ) ) )
132		shaddcl 28074	. . . . . 6 |- ( ( H e. SH /\ x e. H /\ y e. H ) -> ( x +h y ) e. H )
133	1, 132	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( x +h y ) e. H )
134		fvres 6207	. . . . 5 |- ( ( x +h y ) e. H -> ( ( normh |` H ) ` ( x +h y ) ) = ( normh ` ( x +h y ) ) )
135	133, 134	syl 17	. . . 4 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` ( x +h y ) ) = ( normh ` ( x +h y ) ) )
136	131, 135	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` ( x ( +h |` ( H X. H ) ) y ) ) = ( normh ` ( x +h y ) ) )
137		fvres 6207	. . . 4 |- ( y e. H -> ( ( normh |` H ) ` y ) = ( normh ` y ) )
138	112, 137	oveqan12d 6669	. . 3 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( ( ( normh |` H ) ` x ) + ( ( normh |` H ) ` y ) ) = ( ( normh ` x ) + ( normh ` y ) ) )
139	129, 136, 138	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( x e. H /\ y e. H ) -> ( ( normh |` H ) ` ( x ( +h |` ( H X. H ) ) y ) ) <_ ( ( ( normh |` H ) ` x ) + ( ( normh |` H ) ` y ) ) )
140		hhssnvt.1	. 2 |- W = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.
141	13, 24, 108, 111, 117, 126, 139, 140	isnvi 27468	1 |- W e. NrmCVec

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   abscabs 13974   GrpOpcgr 27343  GIdcgi 27344   AbelOpcablo 27398   NrmCVeccnv 27439   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780   0hc0v 27781   SHcsh 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-sh 28064

This theorem is referenced by:  hhssnvt  28122  hhssvsf  28130  hhssims  28132  hhssmet  28134  hhssmetdval  28135  hhssbn  28137