Theorem inaprc 9658

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	|- Inacc e/ _V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9512	. . . . . 6 |- ( x e. Inacc -> x e. InaccW )
2		winaon 9510	. . . . . 6 |- ( x e. InaccW -> x e. On )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. Inacc -> x e. On )
4	3	ssriv 3607	. . . 4 |- Inacc C_ On
5		ssorduni 6985	. . . 4 |- ( Inacc C_ On -> Ord U. Inacc )
6		ordsson 6989	. . . 4 |- ( Ord U. Inacc -> U. Inacc C_ On )
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 |- U. Inacc C_ On
8		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
9		grothtsk 9657	. . . . . . . 8 |- U. Tarski = _V
10	8, 9	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- y e. U. Tarski
11		eluni2 4440	. . . . . . 7 |- ( y e. U. Tarski <-> E. w e. Tarski y e. w )
12	10, 11	mpbi 220	. . . . . 6 |- E. w e. Tarski y e. w
13		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. w -> w =/= (/) )
14		tskcard 9603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ w =/= (/) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
15	13, 14	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
16	15	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( card ` w ) e. Inacc )
17		tsksdom 9578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> y ~< w )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y ~< w )
19		tskwe2 9595	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. Tarski -> w e. dom card )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Tarski /\ y e. w ) -> w e. dom card )
21		cardsdomel 8800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ w e. dom card ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
22	20, 21	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> ( y ~< w <-> y e. ( card ` w ) ) )
23	18, 22	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> y e. ( card ` w ) )
24		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( card ` w ) -> ( y e. z <-> y e. ( card ` w ) ) )
25	24	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( card ` w ) e. Inacc /\ y e. ( card ` w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
26	16, 23, 25	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ ( w e. Tarski /\ y e. w ) ) -> E. z e. Inacc y e. z )
27	26	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( E. w e. Tarski y e. w -> E. z e. Inacc y e. z ) )
28	12, 27	mpi 20	. . . . 5 |- ( y e. On -> E. z e. Inacc y e. z )
29		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( y e. U. Inacc <-> E. z e. Inacc y e. z )
30	28, 29	sylibr 224	. . . 4 |- ( y e. On -> y e. U. Inacc )
31	30	ssriv 3607	. . 3 |- On C_ U. Inacc
32	7, 31	eqssi 3619	. 2 |- U. Inacc = On
33		ssonprc 6992	. . 3 |- ( Inacc C_ On -> ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On ) )
34	4, 33	ax-mp 5	. 2 |- ( Inacc e/ _V <-> U. Inacc = On )
35	32, 34	mpbir 221	1 |- Inacc e/ _V

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   ` cfv 5888   ~< csdm 7954   cardccrd 8761   InaccWcwina 9504   Inacccina 9505   Tarskictsk 9570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-groth 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-smo 7443  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-har 8463  df-r1 8627  df-card 8765  df-aleph 8766  df-cf 8767  df-acn 8768  df-ac 8939  df-wina 9506  df-ina 9507  df-tsk 9571

This theorem is referenced by: (None)