Theorem incsmflem 40950

Description: A non decreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
incsmflem.x	|- F/ x ph
incsmflem.y	|- F/ y ph
incsmflem.a	|- ( ph -> A C_ RR )
incsmflem.f	|- ( ph -> F : A --> RR* )
incsmflem.i	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
incsmflem.j	|- J = ( topGen ` ran (,) )
incsmflem.b	|- B = (SalGen ` J )
incsmflem.r	|- ( ph -> R e. RR* )
incsmflem.l	|- Y = { x e. A | ( F ` x ) < R }
incsmflem.c	|- C = sup ( Y , RR* , < )
incsmflem.d	|- D = ( -oo (,) C )
incsmflem.e	|- E = ( -oo (,] C )

Assertion

Ref	Expression
incsmflem	|- ( ph -> E. b e. B Y = ( b i^i A ) )

Distinct variable groups:   A, b   x, A, y   B, b   x, C, y   D, b   x, D, y   E, b   x, E, y   x, F, y   x, R, y   Y, b   y, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, b)   B( x, y)   C( b)   R( b)   F( b)   J( x, y, b)   Y( x)

Proof of Theorem incsmflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incsmflem.e	. . . 4 |- E = ( -oo (,] C )
2		mnfxr 10096	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> -oo e. RR* )
4		incsmflem.l	. . . . . . . . 9 |- Y = { x e. A | ( F ` x ) < R }
5		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( F ` x ) < R } C_ A
6	4, 5	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- Y C_ A
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y C_ A )
8		incsmflem.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ RR )
9	7, 8	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> Y C_ RR )
10	9	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> C e. RR )
11		incsmflem.j	. . . . 5 |- J = ( topGen ` ran (,) )
12		incsmflem.b	. . . . 5 |- B = (SalGen ` J )
13	3, 10, 11, 12	iocborel 40574	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> ( -oo (,] C ) e. B )
14	1, 13	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> E e. B )
15		incsmflem.x	. . . . 5 |- F/ x ph
16		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x C
17		nfrab1 3122	. . . . . . 7 |- F/_ x { x e. A | ( F ` x ) < R }
18	4, 17	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ x Y
19	16, 18	nfel 2777	. . . . 5 |- F/ x C e. Y
20	15, 19	nfan 1828	. . . 4 |- F/ x ( ph /\ C e. Y )
21		incsmflem.y	. . . . 5 |- F/ y ph
22		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y C e. Y
23	21, 22	nfan 1828	. . . 4 |- F/ y ( ph /\ C e. Y )
24	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> A C_ RR )
25		incsmflem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> RR* )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> F : A --> RR* )
27		incsmflem.i	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
28	27	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
29		incsmflem.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR* )
30	29	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> R e. RR* )
31		incsmflem.c	. . . 4 |- C = sup ( Y , RR* , < )
32		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> C e. Y )
33	20, 23, 24, 26, 28, 30, 4, 31, 32, 1	pimincfltioc 40926	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> Y = ( E i^i A ) )
34		ineq1 3807	. . . . 5 |- ( b = E -> ( b i^i A ) = ( E i^i A ) )
35	34	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( b = E -> ( Y = ( b i^i A ) <-> Y = ( E i^i A ) ) )
36	35	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( E e. B /\ Y = ( E i^i A ) ) -> E. b e. B Y = ( b i^i A ) )
37	14, 33, 36	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ C e. Y ) -> E. b e. B Y = ( b i^i A ) )
38		incsmflem.d	. . . . . 6 |- D = ( -oo (,) C )
39	11, 12	iooborel 40569	. . . . . 6 |- ( -oo (,) C ) e. B
40	38, 39	eqeltri 2697	. . . . 5 |- D e. B
41	40	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> D e. B )
42	41	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. Y ) -> D e. B )
43	19	nfn 1784	. . . . 5 |- F/ x -. C e. Y
44	15, 43	nfan 1828	. . . 4 |- F/ x ( ph /\ -. C e. Y )
45		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y -. C e. Y
46	21, 45	nfan 1828	. . . 4 |- F/ y ( ph /\ -. C e. Y )
47	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. Y ) -> A C_ RR )
48	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. Y ) -> F : A --> RR* )
49	27	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. Y ) -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
50	29	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. Y ) -> R e. RR* )
51		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. C e. Y ) -> -. C e. Y )
52	44, 46, 47, 48, 49, 50, 4, 31, 51, 38	pimincfltioo 40928	. . 3 |- ( ( ph /\ -. C e. Y ) -> Y = ( D i^i A ) )
53		ineq1 3807	. . . . 5 |- ( b = D -> ( b i^i A ) = ( D i^i A ) )
54	53	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( b = D -> ( Y = ( b i^i A ) <-> Y = ( D i^i A ) ) )
55	54	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( D e. B /\ Y = ( D i^i A ) ) -> E. b e. B Y = ( b i^i A ) )
56	42, 52, 55	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. C e. Y ) -> E. b e. B Y = ( b i^i A ) )
57	37, 56	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> E. b e. B Y = ( b i^i A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   topGenctg 16098  SalGencsalgen 40532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-fl 12593  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533

This theorem is referenced by:  incsmf  40951