Theorem isf34lem7 9201

Description: Lemma for isfin3-4 9204. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	|- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )

Assertion

Ref	Expression
isf34lem7	|- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> U. ran G e. ran G )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, F   y, G

Allowed substitution hints:   F( x)   G( x)

Proof of Theorem isf34lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		compss.a	. . . . . . 7 |- F = ( x e. ~P A |-> ( A \ x ) )
2	1	isf34lem2 9195	. . . . . 6 |- ( A e. FinIII -> F : ~P A --> ~P A )
3	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> F : ~P A --> ~P A )
4	3	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> F : ~P A --> ~P A )
5		ffn 6045	. . . 4 |- ( F : ~P A --> ~P A -> F Fn ~P A )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> F Fn ~P A )
7		imassrn 5477	. . . 4 |- ( F " ran G ) C_ ran F
8		frn 6053	. . . . . 6 |- ( F : ~P A --> ~P A -> ran F C_ ~P A )
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ran F C_ ~P A )
10	9	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> ran F C_ ~P A )
11	7, 10	syl5ss 3614	. . 3 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> ( F " ran G ) C_ ~P A )
12		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> A e. FinIII )
13		fco 6058	. . . . . . 7 |- ( ( F : ~P A --> ~P A /\ G : om --> ~P A ) -> ( F o. G ) : om --> ~P A )
14	2, 13	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( F o. G ) : om --> ~P A )
15	14	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> ( F o. G ) : om --> ~P A )
16		sscon 3744	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( A \ ( G ` suc y ) ) C_ ( A \ ( G ` y ) ) )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> G : om --> ~P A )
18		peano2 7086	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc y e. om )
19		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( ( F o. G ) ` suc y ) = ( F ` ( G ` suc y ) ) )
20	17, 18, 19	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. G ) ` suc y ) = ( F ` ( G ` suc y ) ) )
21		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> A e. FinIII )
22		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : om --> ~P A /\ suc y e. om ) -> ( G ` suc y ) e. ~P A )
23	17, 18, 22	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( G ` suc y ) e. ~P A )
24	23	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( G ` suc y ) C_ A )
25	1	isf34lem1 9194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. FinIII /\ ( G ` suc y ) C_ A ) -> ( F ` ( G ` suc y ) ) = ( A \ ( G ` suc y ) ) )
26	21, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( G ` suc y ) ) = ( A \ ( G ` suc y ) ) )
27	20, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. G ) ` suc y ) = ( A \ ( G ` suc y ) ) )
28		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : om --> ~P A /\ y e. om ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
29	28	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
30		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : om --> ~P A /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. ~P A )
31	30	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. ~P A )
32	31	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( G ` y ) C_ A )
33	1	isf34lem1 9194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. FinIII /\ ( G ` y ) C_ A ) -> ( F ` ( G ` y ) ) = ( A \ ( G ` y ) ) )
34	21, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( F ` ( G ` y ) ) = ( A \ ( G ` y ) ) )
35	29, 34	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( A \ ( G ` y ) ) )
36	27, 35	sseq12d 3634	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( ( ( F o. G ) ` suc y ) C_ ( ( F o. G ) ` y ) <-> ( A \ ( G ` suc y ) ) C_ ( A \ ( G ` y ) ) ) )
37	16, 36	syl5ibr 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) /\ y e. om ) -> ( ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> ( ( F o. G ) ` suc y ) C_ ( ( F o. G ) ` y ) ) )
38	37	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) -> A. y e. om ( ( F o. G ) ` suc y ) C_ ( ( F o. G ) ` y ) ) )
39	38	3impia 1261	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> A. y e. om ( ( F o. G ) ` suc y ) C_ ( ( F o. G ) ` y ) )
40		fin33i 9191	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ ( F o. G ) : om --> ~P A /\ A. y e. om ( ( F o. G ) ` suc y ) C_ ( ( F o. G ) ` y ) ) -> |^| ran ( F o. G ) e. ran ( F o. G ) )
41	12, 15, 39, 40	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> |^| ran ( F o. G ) e. ran ( F o. G ) )
42		rnco2 5642	. . . . 5 |- ran ( F o. G ) = ( F " ran G )
43	42	inteqi 4479	. . . 4 |- |^| ran ( F o. G ) = |^| ( F " ran G )
44	41, 43, 42	3eltr3g 2717	. . 3 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> |^| ( F " ran G ) e. ( F " ran G ) )
45		fnfvima 6496	. . 3 |- ( ( F Fn ~P A /\ ( F " ran G ) C_ ~P A /\ |^| ( F " ran G ) e. ( F " ran G ) ) -> ( F ` |^| ( F " ran G ) ) e. ( F " ( F " ran G ) ) )
46	6, 11, 44, 45	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> ( F ` |^| ( F " ran G ) ) e. ( F " ( F " ran G ) ) )
47		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> A e. FinIII )
48	7, 9	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( F " ran G ) C_ ~P A )
49		incom 3805	. . . . . . . . 9 |- ( dom F i^i ran G ) = ( ran G i^i dom F )
50		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : om --> ~P A -> ran G C_ ~P A )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ran G C_ ~P A )
52		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ~P A --> ~P A -> dom F = ~P A )
53	3, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> dom F = ~P A )
54	51, 53	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ran G C_ dom F )
55		df-ss 3588	. . . . . . . . . 10 |- ( ran G C_ dom F <-> ( ran G i^i dom F ) = ran G )
56	54, 55	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( ran G i^i dom F ) = ran G )
57	49, 56	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( dom F i^i ran G ) = ran G )
58		fdm 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : om --> ~P A -> dom G = om )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> dom G = om )
60		peano1 7085	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. om
61		ne0i 3921	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. om -> om =/= (/) )
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> om =/= (/) )
63	59, 62	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> dom G =/= (/) )
64		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . 10 |- ( dom G = (/) <-> ran G = (/) )
65	64	necon3bii 2846	. . . . . . . . 9 |- ( dom G =/= (/) <-> ran G =/= (/) )
66	63, 65	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ran G =/= (/) )
67	57, 66	eqnetrd 2861	. . . . . . 7 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( dom F i^i ran G ) =/= (/) )
68		imadisj 5484	. . . . . . . 8 |- ( ( F " ran G ) = (/) <-> ( dom F i^i ran G ) = (/) )
69	68	necon3bii 2846	. . . . . . 7 |- ( ( F " ran G ) =/= (/) <-> ( dom F i^i ran G ) =/= (/) )
70	67, 69	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( F " ran G ) =/= (/) )
71	1	isf34lem5 9200	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinIII /\ ( ( F " ran G ) C_ ~P A /\ ( F " ran G ) =/= (/) ) ) -> ( F ` |^| ( F " ran G ) ) = U. ( F " ( F " ran G ) ) )
72	47, 48, 70, 71	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( F ` |^| ( F " ran G ) ) = U. ( F " ( F " ran G ) ) )
73	1	isf34lem3 9197	. . . . . . 7 |- ( ( A e. FinIII /\ ran G C_ ~P A ) -> ( F " ( F " ran G ) ) = ran G )
74	47, 51, 73	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( F " ( F " ran G ) ) = ran G )
75	74	unieqd 4446	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> U. ( F " ( F " ran G ) ) = U. ran G )
76	72, 75	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( F ` |^| ( F " ran G ) ) = U. ran G )
77	76, 74	eleq12d 2695	. . 3 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A ) -> ( ( F ` |^| ( F " ran G ) ) e. ( F " ( F " ran G ) ) <-> U. ran G e. ran G ) )
78	77	3adant3 1081	. 2 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> ( ( F ` |^| ( F " ran G ) ) e. ( F " ( F " ran G ) ) <-> U. ran G e. ran G ) )
79	46, 78	mpbid 222	1 |- ( ( A e. FinIII /\ G : om --> ~P A /\ A. y e. om ( G ` y ) C_ ( G ` suc y ) ) -> U. ran G e. ran G )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065  Fin^IIIcfin3 9103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-rpss 6937  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wdom 8464  df-card 8765  df-fin4 9109  df-fin3 9110

This theorem is referenced by:  isf34lem6  9202  fin34i  9203