Theorem znfld 19909

Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znfld	|- ( N e. Prime -> Y e. Field )

Proof of Theorem znfld

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15388	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> N e. NN )
2		nnnn0 11299	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( N e. Prime -> N e. NN0 )
4		zntos.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
5	4	zncrng 19893	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( N e. Prime -> Y e. CRing )
7		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
8	1, 2, 5, 7	4syl 19	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> Y e. Ring )
9		hash2 13193	. . . . . . 7 |- ( # ` 2o ) = 2
10		prmuz2 15408	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Prime -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. Prime -> 2 <_ N )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
14	4, 13	znhash 19907	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( # ` ( Base ` Y ) ) = N )
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. Prime -> ( # ` ( Base ` Y ) ) = N )
16	12, 15	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> 2 <_ ( # ` ( Base ` Y ) ) )
17	9, 16	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 |- ( N e. Prime -> ( # ` 2o ) <_ ( # ` ( Base ` Y ) ) )
18		2onn 7720	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
19		nnfi 8153	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o e. Fin )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 2o e. Fin
21		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` Y ) e. _V
22		hashdom 13168	. . . . . . 7 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. _V ) -> ( ( # ` 2o ) <_ ( # ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
23	20, 21, 22	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( # ` 2o ) <_ ( # ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
24	17, 23	sylib 208	. . . . 5 |- ( N e. Prime -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
25	13	isnzr2 19263	. . . . 5 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
26	8, 24, 25	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( N e. Prime -> Y e. NzRing )
27		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
28	4, 13, 27	znzrhfo 19896	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
29	3, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
30		foelrn 6378	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
31		foelrn 6378	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) -> E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) )
32	30, 31	anim12dan 882	. . . . . . 7 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
33	29, 32	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
34		reeanv 3107	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) <-> ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
35		euclemma 15425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
36	35	3expb 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( N || ( z x. w ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
37	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> Y e. Ring )
38	27	zrhrhm 19860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
40		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> z e. ZZ )
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> w e. ZZ )
42		zringbas 19824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
43		zringmulr 19827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x. = ( .r ` ℤring )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
45	42, 43, 44	rhmmul 18727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
46	39, 40, 41, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
47	46	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
48		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( z x. w ) e. ZZ )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
50	4, 27, 49	zndvds0 19899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z x. w ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
51	3, 48, 50	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z x. w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
52	47, 51	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( z x. w ) ) )
53	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> N e. NN0 )
54	4, 27, 49	zndvds0 19899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
55	53, 40, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) <-> N || z ) )
56	4, 27, 49	zndvds0 19899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
57	53, 41, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) <-> N || w ) )
58	55, 57	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) <-> ( N || z \/ N || w ) ) )
59	36, 52, 58	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
60	59	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
61		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( x ( .r ` Y ) y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) )
62	61	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) ) )
64	63	orbi1d 739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
65		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( y = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) )
66	65	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
67	64, 66	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
68	62, 67	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) <-> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
69	60, 68	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Prime /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
70	69	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( N e. Prime -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
71	34, 70	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( N e. Prime -> ( ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
72	71	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( N e. Prime /\ ( E. z e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) /\ E. w e. ZZ y = ( ( ZRHom ` Y ) ` w ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
73	33, 72	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( N e. Prime /\ ( x e. ( Base ` Y ) /\ y e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
74	73	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( N e. Prime -> A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) )
75	13, 44, 49	isdomn 19294	. . . 4 |- ( Y e. Domn <-> ( Y e. NzRing /\ A. x e. ( Base ` Y ) A. y e. ( Base ` Y ) ( ( x ( .r ` Y ) y ) = ( 0g ` Y ) -> ( x = ( 0g ` Y ) \/ y = ( 0g ` Y ) ) ) ) )
76	26, 74, 75	sylanbrc 698	. . 3 |- ( N e. Prime -> Y e. Domn )
77		isidom 19304	. . 3 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
78	6, 76, 77	sylanbrc 698	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )
79	4, 13	znfi 19908	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( Base ` Y ) e. Fin )
80	1, 79	syl 17	. . 3 |- ( N e. Prime -> ( Base ` Y ) e. Fin )
81	13	fiidomfld 19308	. . 3 |- ( ( Base ` Y ) e. Fin -> ( Y e. IDomn <-> Y e. Field ) )
82	80, 81	syl 17	. 2 |- ( N e. Prime -> ( Y e. IDomn <-> Y e. Field ) )
83	78, 82	mpbid 222	1 |- ( N e. Prime -> Y e. Field )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   2oc2o 7554   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Fieldcfield 18748  NzRingcnzr 19257  Domncdomn 19280  IDomncidom 19281  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  znidomb  19910  lgsqrlem1  25071  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073  lgsqrlem4  25074  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103