Theorem znidomb 19910

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
znidomb	|- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11409	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 e. ZZ )
3		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ZZ )
5		hash2 13193	. . . . . . 7 |- ( # ` 2o ) = 2
6		isidom 19304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. IDomn <-> ( Y e. CRing /\ Y e. Domn ) )
7	6	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. IDomn -> Y e. Domn )
8		domnnzr 19295	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Domn -> Y e. NzRing )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. IDomn -> Y e. NzRing )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
11	10	isnzr2 19263	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. NzRing <-> ( Y e. Ring /\ 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
12	11	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. NzRing -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. IDomn -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
15		df2o2 7574	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , { (/) } }
16		prfi 8235	. . . . . . . . . 10 |- { (/) , { (/) } } e. Fin
17	15, 16	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- 2o e. Fin
18		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) e. _V
19		hashdom 13168	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o e. Fin /\ ( Base ` Y ) e. _V ) -> ( ( # ` 2o ) <_ ( # ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) ) )
20	17, 18, 19	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` 2o ) <_ ( # ` ( Base ` Y ) ) <-> 2o ~<_ ( Base ` Y ) )
21	14, 20	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( # ` 2o ) <_ ( # ` ( Base ` Y ) ) )
22	5, 21	syl5eqbrr 4689	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ ( # ` ( Base ` Y ) ) )
23		zntos.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
24	23, 10	znhash 19907	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( # ` ( Base ` Y ) ) = N )
25	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> ( # ` ( Base ` Y ) ) = N )
26	22, 25	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> 2 <_ N )
27		eluz2 11693	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
28	2, 4, 26, 27	syl3anbrc 1246	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
29		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. CC )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. CC )
31		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x e. CC )
32	31	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. CC )
33		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> x =/= 0 )
34	33	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x =/= 0 )
35	30, 32, 34	divcan1d 10802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / x ) x. x ) = N )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) )
37	7	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Domn )
38		domnring 19296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. Domn -> Y e. Ring )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> Y e. Ring )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
41	40	zrhrhm 19860	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
43		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x || N )
44		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
45	44	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. ZZ )
46	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. ZZ )
47		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ x =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
48	45, 34, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x || N <-> ( N / x ) e. ZZ ) )
49	43, 48	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. ZZ )
50		zringbas 19824	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
51		zringmulr 19827	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℤring )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
53	50, 51, 52	rhmmul 18727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ ( N / x ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
54	42, 49, 45, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( ( N / x ) x. x ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) )
55		iddvds 14995	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N || N )
56	46, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N || N )
57		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. NN0 )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
60	23, 40, 59	zndvds0 19899	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
61	58, 46, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) <-> N || N ) )
62	56, 61	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` N ) = ( 0g ` Y ) )
63	36, 54, 62	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
64	50, 10	rhmf 18726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
65	42, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
66	65, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) )
67	65, 45	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) )
68	10, 52, 59	domneq0 19297	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. Domn /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
69	37, 66, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) ) )
70	63, 69	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) )
71	23, 40, 59	zndvds0 19899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / x ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
72	58, 49, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / x ) ) )
73		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. RR )
74	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> N e. RR )
75		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> x e. RR )
76	75	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. RR )
77		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> 0 < N )
78	77	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < N )
79		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. NN -> 0 < x )
80	79	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < x )
81	74, 76, 78, 80	divgt0d 10959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < ( N / x ) )
82		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N / x ) e. NN <-> ( ( N / x ) e. ZZ /\ 0 < ( N / x ) ) )
83	49, 81, 82	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / x ) e. NN )
84		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N / x ) e. NN ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
85	46, 83, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> N <_ ( N / x ) ) )
86		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 1 e. RR )
87		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> 0 < 1 )
89		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
90	76, 80, 86, 88, 74, 78, 89	syl222anc 1342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> ( N / 1 ) <_ ( N / x ) ) )
91		nnle1eq1 11048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. NN -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
92	91	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x <_ 1 <-> x = 1 ) )
93	30	div1d 10793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N / 1 ) = N )
94	93	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( N / 1 ) <_ ( N / x ) <-> N <_ ( N / x ) ) )
95	90, 92, 94	3bitr3rd 299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N <_ ( N / x ) <-> x = 1 ) )
96	85, 95	sylibd 229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || ( N / x ) -> x = 1 ) )
97	72, 96	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) -> x = 1 ) )
98	23, 40, 59	zndvds0 19899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
99	58, 45, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) <-> N || x ) )
100		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
101	100	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> x e. NN0 )
102		dvdseq 15036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( x || N /\ N || x ) ) -> x = N )
103	102	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ x || N ) -> ( N || x -> x = N ) )
104	101, 58, 43, 103	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( N || x -> x = N ) )
105	99, 104	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) -> x = N ) )
106	97, 105	orim12d 883	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / x ) ) = ( 0g ` Y ) \/ ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
107	70, 106	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ ( x e. NN /\ x || N ) ) -> ( x = 1 \/ x = N ) )
108	107	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) /\ x e. NN ) -> ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
109	108	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) )
110		isprm2 15395	. . . 4 |- ( N e. Prime <-> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. NN ( x || N -> ( x = 1 \/ x = N ) ) ) )
111	28, 109, 110	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ Y e. IDomn ) -> N e. Prime )
112	111	ex 450	. 2 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn -> N e. Prime ) )
113	23	znfld 19909	. . 3 |- ( N e. Prime -> Y e. Field )
114		fldidom 19305	. . 3 |- ( Y e. Field -> Y e. IDomn )
115	113, 114	syl 17	. 2 |- ( N e. Prime -> Y e. IDomn )
116	112, 115	impbid1 215	1 |- ( N e. NN -> ( Y e. IDomn <-> N e. Prime ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2oc2o 7554   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Fieldcfield 18748  NzRingcnzr 19257  Domncdomn 19280  IDomncidom 19281  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by: (None)