Theorem itg1val 23450

Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1val	|- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` F ) = sum_ x e. ( ran F \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem itg1val

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5351	. . . . 5 |- ( f = F -> ran f = ran F )
2	1	difeq1d 3727	. . . 4 |- ( f = F -> ( ran f \ { 0 } ) = ( ran F \ { 0 } ) )
3		cnveq 5296	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> `' f = `' F )
4	3	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( `' f " { x } ) = ( `' F " { x } ) )
5	4	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( vol ` ( `' f " { x } ) ) = ( vol ` ( `' F " { x } ) ) )
6	5	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( f = F -> ( x x. ( vol ` ( `' f " { x } ) ) ) = ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( f = F /\ x e. ( ran f \ { 0 } ) ) -> ( x x. ( vol ` ( `' f " { x } ) ) ) = ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )
8	2, 7	sumeq12dv 14437	. . 3 |- ( f = F -> sum_ x e. ( ran f \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' f " { x } ) ) ) = sum_ x e. ( ran F \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )
9		df-itg1 23389	. . 3 |- S.1 = ( f e. { g e. MblFn | ( g : RR --> RR /\ ran g e. Fin /\ ( vol ` ( `' g " ( RR \ { 0 } ) ) ) e. RR ) } |-> sum_ x e. ( ran f \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' f " { x } ) ) ) )
10		sumex 14418	. . 3 |- sum_ x e. ( ran F \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) e. _V
11	8, 9, 10	fvmpt 6282	. 2 |- ( F e. { g e. MblFn | ( g : RR --> RR /\ ran g e. Fin /\ ( vol ` ( `' g " ( RR \ { 0 } ) ) ) e. RR ) } -> ( S.1 ` F ) = sum_ x e. ( ran F \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )
12		sumex 14418	. . 3 |- sum_ x e. ( ran f \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' f " { x } ) ) ) e. _V
13	12, 9	dmmpti 6023	. 2 |- dom S.1 = { g e. MblFn | ( g : RR --> RR /\ ran g e. Fin /\ ( vol ` ( `' g " ( RR \ { 0 } ) ) ) e. RR ) }
14	11, 13	eleq2s 2719	1 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` F ) = sum_ x e. ( ran F \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   {csn 4177   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   sum_csu 14416   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  itg1val2  23451  itg1cl  23452  itg1ge0  23453  itg10  23455  itg11  23458  itg1addlem5  23467  itg1mulc  23471  itg10a  23477  itg1ge0a  23478  itg1climres  23481