Theorem itg1ge0 23453

Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1ge0	|- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> 0 <_ ( S.1 ` F ) )

Proof of Theorem itg1ge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1frn 23444	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ran F e. Fin )
2		difss 3737	. . . . 5 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ ran F
3		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( ran F e. Fin /\ ( ran F \ { 0 } ) C_ ran F ) -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
6		i1ff 23443	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> F : RR --> RR )
8		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( F : RR --> RR -> ran F C_ RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> ran F C_ RR )
10	9	ssdifssd 3748	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> ( ran F \ { 0 } ) C_ RR )
11	10	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) /\ x e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> x e. RR )
12		i1fima2sn 23447	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { x } ) ) e. RR )
13	12	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) /\ x e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { x } ) ) e. RR )
14	11, 13	remulcld 10070	. . 3 |- ( ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) /\ x e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) e. RR )
15		eldifi 3732	. . . . 5 |- ( x e. ( ran F \ { 0 } ) -> x e. ran F )
16		0cn 10032	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
17		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. CC -> ( CC X. { 0 } ) Fn CC )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { 0 } ) Fn CC
19		df-0p 23437	. . . . . . . . . . . 12 |- 0p = ( CC X. { 0 } )
20	19	fneq1i 5985	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0p Fn CC <-> ( CC X. { 0 } ) Fn CC )
21	18, 20	mpbir 221	. . . . . . . . . 10 |- 0p Fn CC
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> 0p Fn CC )
23		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( F : RR --> RR -> F Fn RR )
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> F Fn RR )
25		cnex 10017	. . . . . . . . . 10 |- CC e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> CC e. _V )
27		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> RR e. _V )
29		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
30		sseqin2 3817	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ CC <-> ( CC i^i RR ) = RR )
31	29, 30	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( CC i^i RR ) = RR
32		0pval 23438	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. CC -> ( 0p ` y ) = 0 )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ y e. CC ) -> ( 0p ` y ) = 0 )
34		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
35	22, 24, 26, 28, 31, 33, 34	ofrfval 6905	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ F <-> A. y e. RR 0 <_ ( F ` y ) ) )
36	35	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> A. y e. RR 0 <_ ( F ` y ) )
37	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> F Fn RR )
38		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` y ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( F ` y ) ) )
39	38	ralrn 6362	. . . . . . . 8 |- ( F Fn RR -> ( A. x e. ran F 0 <_ x <-> A. y e. RR 0 <_ ( F ` y ) ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> ( A. x e. ran F 0 <_ x <-> A. y e. RR 0 <_ ( F ` y ) ) )
41	36, 40	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> A. x e. ran F 0 <_ x )
42	41	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) /\ x e. ran F ) -> 0 <_ x )
43	15, 42	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) /\ x e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> 0 <_ x )
44		i1fima 23445	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> ( `' F " { x } ) e. dom vol )
45	44	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) /\ x e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { x } ) e. dom vol )
46		mblss 23299	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " { x } ) e. dom vol -> ( `' F " { x } ) C_ RR )
47		ovolge0 23249	. . . . . . 7 |- ( ( `' F " { x } ) C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` ( `' F " { x } ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( `' F " { x } ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol* ` ( `' F " { x } ) ) )
49		mblvol 23298	. . . . . 6 |- ( ( `' F " { x } ) e. dom vol -> ( vol ` ( `' F " { x } ) ) = ( vol* ` ( `' F " { x } ) ) )
50	48, 49	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( `' F " { x } ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( `' F " { x } ) ) )
51	45, 50	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) /\ x e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> 0 <_ ( vol ` ( `' F " { x } ) ) )
52	11, 13, 43, 51	mulge0d 10604	. . 3 |- ( ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) /\ x e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> 0 <_ ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )
53	5, 14, 52	fsumge0 14527	. 2 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> 0 <_ sum_ x e. ( ran F \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )
54		itg1val 23450	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` F ) = sum_ x e. ( ran F \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )
55	54	adantr 481	. 2 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> ( S.1 ` F ) = sum_ x e. ( ran F \ { 0 } ) ( x x. ( vol ` ( `' F " { x } ) ) ) )
56	53, 55	breqtrrd 4681	1 |- ( ( F e. dom S.1 /\ 0p oR <_ F ) -> 0 <_ ( S.1 ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   sum_csu 14416   vol*covol 23231   volcvol 23232   S.1citg1 23384   0pc0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-0p 23437

This theorem is referenced by: (None)