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Theorem iundisj2 23317
Description: A disjoint union is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
iundisj.1 |- ( n = k -> A = B )
Assertion
Ref Expression
iundisj2 |- Disj n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )
Distinct variable groups:   k, n   A, k   B, n
Allowed substitution hints:   A( n)   B( k)
Proof of Theorem iundisj2
Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1487 . . . 4 |- T.
2 eqeq12 2635 . . . . . 6 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( a = b <-> x = y ) )
3 csbeq1 3536 . . . . . . . 8 |- ( a = x -> [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
4 csbeq1 3536 . . . . . . . 8 |- ( b = y -> [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
53, 4ineqan12d 3816 . . . . . . 7 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
65eqeq1d 2624 . . . . . 6 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) <-> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
72, 6orbi12d 746 . . . . 5 |- ( ( a = x /\ b = y ) -> ( ( a = b \/ ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) <-> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) ) )
8 eqeq12 2635 . . . . . . 7 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( a = b <-> y = x ) )
9 equcom 1945 . . . . . . 7 |- ( y = x <-> x = y )
108, 9syl6bb 276 . . . . . 6 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( a = b <-> x = y ) )
11 csbeq1 3536 . . . . . . . . 9 |- ( a = y -> [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
12 csbeq1 3536 . . . . . . . . 9 |- ( b = x -> [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
1311, 12ineqan12d 3816 . . . . . . . 8 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
14 incom 3805 . . . . . . . 8 |- ( [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
1513, 14syl6eq 2672 . . . . . . 7 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) )
1615eqeq1d 2624 . . . . . 6 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) <-> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
1710, 16orbi12d 746 . . . . 5 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( ( a = b \/ ( [_ a / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ b / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) <-> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) ) )
18 nnssre 11024 . . . . . 6 |- NN C_ RR
1918a1i 11 . . . . 5 |- ( T. -> NN C_ RR )
20 biidd 252 . . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) -> ( ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) <-> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) ) )
21 nesym 2850 . . . . . . . 8 |- ( y =/= x <-> -. x = y )
22 nnre 11027 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. NN -> x e. RR )
23 nnre 11027 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR )
24 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( x <_ y -> x <_ y )
25 leltne 10127 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> ( x < y <-> y =/= x ) )
2622, 23, 24, 25syl3an 1368 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( x < y <-> y =/= x ) )
27 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
28 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ x / n ]_ A
29 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ x ) B
3028, 29nfdif 3731 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B )
31 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = x -> A = [_ x / n ]_ A )
32 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = x -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ x ) )
3332iuneq1d 4545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = x -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ x ) B )
3431, 33difeq12d 3729 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = x -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) )
3527, 30, 34csbief 3558 . . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B )
36 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
37 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ y / n ]_ A
38 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ y ) B
3937, 38nfdif 3731 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
40 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = y -> A = [_ y / n ]_ A )
41 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = y -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ y ) )
4241iuneq1d 4545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = y -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ y ) B )
4340, 42difeq12d 3729 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = y -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) )
4436, 39, 43csbief 3558 . . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
4535, 44ineq12i 3812 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = ( ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) )
46 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> x e. NN )
47 nnuz 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4846, 47syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
49 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> y e. NN )
5049nnzd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> y e. ZZ )
51 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> x < y )
52 elfzo2 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1..^ y ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ y e. ZZ /\ x < y ) )
5348, 50, 51, 52syl3anbrc 1246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> x e. ( 1..^ y ) )
54 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ n k
55 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ n B
56 iundisj.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = k -> A = B )
5754, 55, 56csbhypf 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> [_ x / n ]_ A = B )
5857equcoms 1947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = x -> [_ x / n ]_ A = B )
5958eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = x -> B = [_ x / n ]_ A )
6059ssiun2s 4564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1..^ y ) -> [_ x / n ]_ A C_ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
6153, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> [_ x / n ]_ A C_ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
6261ssdifssd 3748 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) C_ U_ k e. ( 1..^ y ) B )
63 ssrin 3838 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) C_ U_ k e. ( 1..^ y ) B -> ( ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) C_ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> ( ( [_ x / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ x ) B ) i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) C_ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) )
6545, 64syl5eqss 3649 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) C_ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) )
66 disjdif 4040 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) = (/)
67 sseq0 3975 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) C_ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) /\ ( U_ k e. ( 1..^ y ) B i^i ( [_ y / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ y ) B ) ) = (/) ) -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) )
6865, 66, 67sylancl 694 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x < y ) -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) )
69683expia 1267 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x < y -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
70693adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( x < y -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
7126, 70sylbird 250 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( y =/= x -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
7221, 71syl5bir 233 . . . . . . 7 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( -. x = y -> ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
7372orrd 393 . . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) -> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
7473adantl 482 . . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. NN /\ y e. NN /\ x <_ y ) ) -> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
757, 17, 19, 20, 74wlogle 10561 . . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) -> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
761, 75mpan 706 . . 3 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
7776rgen2a 2977 . 2 |- A. x e. NN A. y e. NN ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) )
78 disjors 4635 . 2 |- (Disj n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> A. x e. NN A. y e. NN ( x = y \/ ( [_ x / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) i^i [_ y / n ]_ ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) ) = (/) ) )
7977, 78mpbir 221 1 |- Disj n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   [_csb 3533   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  iunmbl  23321  volsup  23324  sigapildsys  30225  carsgclctunlem3  30382  voliunnfl  33453
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